Il quarto Termine Primitivo introduce la retta. E chi conosce già la realtà del risultato, la detta in questo Termine:
Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.
Poi dice che, la retta deve essere tale che i punti che vi giacciono devono essere uguali alla linea. Cioè, a ogni punto sulla retta corrisponde una uguale grandezza sulla linea. A tal fine, è chiaro che dovrò stabilire la prima grandezza. E fissare una misura. Cioè, la prima unità di misura.
Ciò detto, anche il quarto Concetto Primitivo si definisce e si integra sui precedenti. Tanto che, al momento opportuno, l’Autore introduce un altro ente. Una retta che, per come è strutturata, rimane ancora nella prima dimensione. E ciò per i numeri, che ho iniziato a usare, vuol dire che sono dei lineari.
In coerenza con i precedenti, anche il quarto Termine Primitivo, presenta la retta in forma di uguaglianza “Una retta è una linea…”. Così come è stato fatto in prima con il binomio linea-lunghezza. Ora ogni lunghezza completa, è un punto sulla retta. Un concetto di biunivocità che si chiarirà meglio con gli Assiomi e i numeri.
Punti sulla retta
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| Ogni lunghezza segna un punto sulla retta |
E ciò vuol dire che, i punti estremi della linea, sono comuni anche per la retta. In più, chiarisce che la retta si estende e “…giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.”. Allora il problema che sarebbe rimasto da risolvere è capire cosa sono i punti. E come distinguerli tra loro. Anche se, in vero, ho appena anticipato la soluzione con l’introduzione dei numeri.
Interfaccia con i Termini Primitivi
Con il secondo Termine Primitivo sono stati individuati il punto ”A” e quello ”B” del primo intero. E in teoria ciò mi permetterebbe di tracciare un tratto grafico tra i due punti. Mi ricordo però che mi trovo ancora nella prima dimensione. Cioè, dove esiste solo linea e lunghezza. In realtà quindi non è dato ancora tracciare nulla di visibile. Pertanto, occorre distinguere subito la linea da un tratto grafico. In questo caso, il tratto grafico, è una traccia che rende visibile una figura o un disegno. Cioè è l’interfaccia, tra noi e gli elementi monodimensionali. Utile solo alla percezione visiva. Cosa diversa dalla linea incorporale che sto imparando a conoscere. Fatta la precisazione.Dire solo "uno" è qualcosa di astratto e indefinito. Infatti, è stato introdotto, dal Primo Termine, come una cosa adimensionale. E per ciò, adattabile a tutte le dimensioni. Adesso, con la retta, occorre associare al concetto di numero qualcosa di visibile che in pratica renda la percezione della quantità e che dia il senso della misura.
Per ciò, sfrutto la percezione visiva del tratto grafico. E osservo due estensioni indicate con a e b. È evidente che a tutte e due è stata assegnata la stessa lunghezza (uno). Poiché sono state calcolate con lo stesso procedimento matematico. Anche se, è altrettanto evidente che hanno una diversa estensione. In altre parole, il tratto a è più lungo di quello b. Questo però non implica che i “punti” contenuti nell’intervallo a, solo perché è più grande, sono maggiori rispetto a quelli contenuti nel tratto grafico b. Perché, tale ipotesi, sarebbe in contrasto con il fatto che le due estensioni coprono lo stesso intervallo [0,1]. In altre parole, b non è un segmento di a. Al contrario b è una unità unica. Proprio perché è stata concepita con una grandezza minore di a.
A questo punto, è bene dare una grandezza precisa e unica all’estensione del numero uno. E ciò consentirà a tutti coloro che la adotteranno di utilizzarla senza ambiguità. Ad ogni modo, va detto che non si tratta di un “problema” che si risolve con un calcolo. Per ciò, è una scelta che deve essere presa. Salvo che non voglio fare la fine dell’asino di Buridano. Per dire che, la diversa scelta mi avrebbe “solo” descritto un mondo diverso ma che funziona lo stesso.
Questa possibilità di libera scelta conferma il concetto filosofico. E porta il libero arbitrio anche nella matematica. Il libero arbitrio, in matematica, considerata la natura corrompibile dell’uomo, sembra fuori luogo. Eppure è alla base della logica naturale di ciò che sarà.
Grandezza
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| Grandezza |
Il libero arbitrio nei Termini Primitivi
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La scelta |
Ciò significa che la scelta è libera ma, per i numeri, è condizionata a criteri precisi. In altre parole, in matematica, non è concepibile che un insieme numerico sia composto da unità con diverse grandezze in disaccordo tra loro. E in proposito, il quarto Termine Primitivo ha inserito il concetto di uguaglianza dei punti che poi sarà spiegato meglio con gli Assioma. Per questo, devo decidere quale sia la cosa che metterò alla base della costruzione. Ciò detto, scelgo a. E poi, scarto per sempre b.
Biunivocità del quarto Termine Primitivo
In più, se a ogni lunghezza corrisponde un punto sulla retta allora posso pensare che, con il quarto Termine Primitivo, si introduce anche la biunivocità tra: lunghezze, punto e poi numeri.La retta, come le altre entità è un concetto infinito. Perché ha in sovrapposizione gli estremi della linea. Mentre i punti possono essere molti. E, in ogni caso, quando smetterò di correre dietro a un infinito, resteranno sempre contenuti fra gli estremi della linea.In sunto, l'Autore ha iniziato il suo insegnamento distinguendo indefinito e intero. Poi, ha chiarito che l’indefinito è tale perché manca (1 - 0…1) un punto (senza larghezza). Per dire che, se il parimpari può mutare da pari a dispari allora può cambiare, le cose, anche da compiute a incompiute.
E con questo si capisce che i Termini Primitivi, non si limitano solo alla geometria. E che invece sono concetti che si estendono a diverse discipline. Tra questi, le unità di misura e le grandezze rivestono un ruolo centrale.1. Un punto è ciò che non ha parti.
2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.
3. Gli estremi di una linea sono punti.
4.
5. Una superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza.
6. Gli estremi di una superficie sono linee.
7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.
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