Secondo Concetto Primitivo

Il secondo Concetto Primitivo, introduce: linea, lunghezza e larghezza.

Una linea è una lunghezza senza larghezza.

E anche in questo Termine l’affermazione della linea, è propedeutica alla definizione “Una linea è…”. E poi, la definizione si limita a due parole: “…una lunghezza” a cui segue una precisazione “…senza larghezza”.

Come per il primo Termine Primitivo, sul piano semantico, le parole “senza larghezza”, possono dare luogo a più interpretazioni. Però, in analogia con il punto, non penso che sia una cosa immaginaria. Quando in realtà, la negazione della “larghezza” introduce una linea monodimensionale indefinita.

Lunghezza e larghezza

Secondo Termine Primitivo Per di più, la linea non è sola a se stante. Infatti, ha pure una lunghezza che dà il senso di ampiezza. E poi, inserisce anche la larghezza. E, in fine, dice di tenere la lunghezza senza larghezza. Per prima cosa, dunque, è bene chiarire cosa si intende con “larghezza”.

In prima lettura, percepisco la linea come un ente geometrico. Cioè come a un tratto che si estende da un punto a un altro. E ancor di più questa convinzione si rafforza quando è posta all’inizio di un’opera come gli Elementi di Euclide che contempla la geometria. Se poi alla lunghezza collego la larghezza, allora penso a qualcosa che si estende come una “superficie”. Ciò però, al momento, è prematuro. Perché larghezza e lunghezza sono spiegati con il quinto Termine “Una superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza”. Per questa ragione, devo intendere il secondo Concetto Primitivo in altro modo. Per farla breve, come è stato per il punto, anche in questo caso penso la larghezza come un punto. Tale che, la negazione, priva la lunghezza di un estremo.

Concetto Primitivo e sovrapposizione

Secondo Concetto Primitivo In analisi, larghezza e lunghezza sono messe in un rapporto di uguaglianza con la linea “Una linea è una lunghezza…”, Dunque, posso metterli in relazione. Cioè sovrapporli tra loro. So già che la lunghezza = A, oltre che un intero, può essere considerata anche un elemento infinito. E questo vale anche per la larghezza = B. Perciò anche la linea, come lunghezza e larghezza, può andare dal più piccolo al più grande.

Ciò detto, come si può vedere dalla figura, ho messo in uguaglianza tra loro sotto forma di raggio lunghezza e larghezza. In altre parole, sono in sovrapposizione (a = a) e in posizione monodimensionale. Dunque, sono uguali “una lunghezza è una larghezza”. A questo punto, non è difficile capire che se tolgo l’estremo B della lunghezza rimane indefinita. Perché, è priva di un punto.

Ciò detto, per andare avanti, mi serve individuare una entità che sia meno astratta e abbia i presupposti del secondo Concetto Primitivo. E possa occupare almeno una posizione che in questo caso è la prima. E poi, dare inizio a una lunghezza.

Concetto Primitivo e numeri

Per questa esigenza, trovo appropriati i “numeri”. Perché, possono essere considerati come dei punti. E nello stesso tempo sono elementi più trattabili. E in ogni caso hanno tutte le proprietà richieste dal secondo Concetto Primitivo. Cioè, sono infiniti e rientrano in tutte le dimensioni. E poi, possono essere intesi come una lunghezza senza larghezza. Cioè indefiniti. Dunque, utilizzabili per stabilire un rapporto di uguaglianza con la linea.

Prima di proseguire, però, è opportuno chiarire il senso delle virgolette poste alla parola “numeri”. Intendo dire che al momento non conosco ancora i numeri, come parti aritmetiche, entità algebriche o matematiche. Li conosco come “cose” di cui non ho ancora una definizione. Sono un punto di riferimento da cui partire. Anche se è da tenere a mente che, in questa fase, è già stato introdotto dall’Autore il numero uno. Inteso come singolo elemento. Una sola cosa, a cui fa precisi riferimenti negli asserti: “Una linea è una lunghezza”. Iniziando, appunto, il discorso quantificando il punto. E’ questo è sufficiente. Ragione per cui, tratterò una lunghezza come un’entità numerica. Cioè, trasformerò il testo in relazioni.

Concetto di Infinito

La lunghezza con un punto di inizio e una fine infinita, in matematica, è valida e di grande importanza. Però, se lascio così la cosa non sarò in grado di capire quale fosse la posizione finale e determinare una estensione. Posso solo dire che è infinita. E questo è vero. Di certo, però non mi impedirà di entrare nel merito del secondo Concetto Primitivo.

Come detto, l’estremo infinito non ha limite nel suo ingrandirsi. Ciò vuol dire, che non posso aggiungere numero che non vi è già compreso. In altre parole, già per definizione, non esiste un numero maggiore a quello infinito. E per questa ragione posso mettere la lunghezza ℝ in relazione solo con se stessa. In altre parole:

R + 1 = R;
R + R = R;
R x 1 = R;
R x R = R;
R + 0 = R.

Discendere l’infinito

Concetto Primitivo

Questo per dire che, qualunque sia l’ingrandire, non può esistere un numero maggiore a quello infinito ℝ. In altre parole, a un infinito, non si può aggiungere nulla che non vi sia già compreso. Tutto sommato, può solo ingrandirsi dal suo inizio. Però, se relaziono ℝ con se stesso allora posso discendere l’infinito. Ciò detto, applico questa deduzione per trovare il primo estremo della linea. E per questa ragione, dall’insieme dei numeri reali tolgo ℝ. Cioè :

x = R – R = 0

In modo analogo, un infinito si può dividere. E ogni suo quoziente, sarà un sottomultiplo con proprietà infinite. Così che:

x = R / R = 1

Le relazioni sono molto semplici, però dicono che “Gli estremi di una linea sono punti.”. Cioè sono di fronte a un intero, ma questo è l’argomento del prossimo Concetto Primitivo quindi lo tralascio. Perché, in questo momento, chi li ha scritti vuole una lunghezza senza larghezza. Infatti, in ordine di crescita, un indefinito precede sempre un intero. E, senza dubbio, il numero uno è un intero ma, pur sempre, racchiude delle infinità. Perciò, quando alla relazione R / R tolgo un punto (-1), continuo a trattare il sottraendo come un numero che mantiene, sempre, la proprietà infinita. E questo mi ricollega al parimpari Cioè:

x = (R / R) – 0, 0… 1

E anche se la posizione del sottraendo può non avere mai fine. So già che esiste un preciso termine per questo infinito. E’ stato appena quantificato e sistemato, quindi esiste.

Estremi nel secondo Concetto Primitivo

E, in fin dei conti, questo è quello che stavo cercando con il secondo Concetto primitivo. Ora, per prima cosa, se valuto l’infinità prodotta per sottrazione e divisione noto che è diversa da quella con un punto di termine infinito (∞) e basta. Infatti, una posizione finale infinita, non è trattabile. Copre, in modo generico, una lunghezza alla quale non si può nemmeno ipotizzare una fine. In altre parole, sfugge al concetto di ultimo o tutto. Quando in realtà, sono certo che esiste. Perché, sono stato proprio io a privarla dell’ultimo punto, rendendola un’incompiuta (0,9…9). Perciò, anche se di poco, per quanto minima si voglia pensare. Mancherà sempre un punto (o una parte di punto).

Ciò detto, è chiaro che se voglio l’intero allora aggiungo quello che ho tolto.

Infine, in merito all’infinità bisogna dire che è basilare per tutta la matematica. È la proprietà che ci rende liberi. E ci dona l’autodeterminazione. Cosa che i numeri non hanno.

1. Un punto è ciò che non ha parti.
2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.
3. Gli estremi di una linea sono punti.
4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.
5. Una superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza.
6. Gli estremi di una superficie sono linee.
7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.