Ipotenusa di Pitagora
Non ho dubbi nel dire che ipotenusa e teorema di Pitagora, sono una fantastica scoperta matematica. Pitagora, per giungere al teorema, osservò i triangoli. Ed è arcinoto che la somma dei quadrati costruiti sui cateti A e B corrisponde con quello dell’ipotenusa C. Cioè A² + B² = C² tale che la radice quadrata di C² è uguale all’ipotenusa. Riassunta la storia di circa ventisei secoli sulla scoperta di Pitagora (e considerato che, per i numeri, il tempo è uguale a zero), ora vado avanti e riprendendo il concetto iniziato da Pitagora. A tal fine, per progredire la visione del teorema, mi rivolgerò al quadrato. Poiché ha sempre un angolo retto, che includere tutte le ipotenuse, fino a giungere al concetto di rotazione. Un sistema innovativo e molto intrigante.
Con la ripartizione del quadrato ho diviso la superficie in trecentoventiquattro particelle, quattro quadranti e otto settori. Per dire che userò questi elementi per fare ruotare l’ipotenusa sul perimetro del quadrato, Inoltre, fin dall’inizio, non osservo solo tre aree (ABC) ma vedo anche D che è in relazione con le altre aree, e come vedremo, si tradurrà nel concetto di ampiezza (α).
Non ho dubbi nel dire che ipotenusa e teorema di Pitagora, sono una fantastica scoperta matematica. Pitagora, per giungere al teorema, osservò i triangoli. Ed è arcinoto che la somma dei quadrati costruiti sui cateti A e B corrisponde con quello dell’ipotenusa C. Cioè A² + B² = C² tale che la radice quadrata di C² è uguale all’ipotenusa. Riassunta la storia di circa ventisei secoli sulla scoperta di Pitagora (e considerato che, per i numeri, il tempo è uguale a zero), ora vado avanti e riprendendo il concetto iniziato da Pitagora. A tal fine, per progredire la visione del teorema, mi rivolgerò al quadrato. Poiché ha sempre un angolo retto, che includere tutte le ipotenuse, fino a giungere al concetto di rotazione. Un sistema innovativo e molto intrigante.
Con la ripartizione del quadrato ho diviso la superficie in trecentoventiquattro particelle, quattro quadranti e otto settori. Per dire che userò questi elementi per fare ruotare l’ipotenusa sul perimetro del quadrato, Inoltre, fin dall’inizio, non osservo solo tre aree (ABC) ma vedo anche D che è in relazione con le altre aree, e come vedremo, si tradurrà nel concetto di ampiezza (α).
Perimetro particelle e settori
Pitagora e ipotenusa
Inizio il discorso dal perimetro, quindi presento subito un modo diverso per calcolarlo. Un, nuovo, sistema più appropriato alle frazioni e alla complessità di una ipotenusa. Significa che non mi rivolgerò direttamente ai lati. Perché, preferisco usare le particelle e i settori del quadrato.
A proposito di particelle e settori. So già che un quadrante è composto da ottantuno particelle (9 x 9) e che ogni quadrante ha due settori. So anche che la ripartizione del quadrato è in rapporto di un nono. Quindi, se divido un quadrante per due, ottengo le particelle di un settore: 81 / 2 = 40,5. Ciò significa che n è un numero reale compreso tra 0 e 324. Mentre, se voglio il numero che corrisponde al perimetro intero, allora n = 324. Ed è proprio quello che voglio fare ora. Pertanto, per prima cosa, produco le particelle adiacenti al perimetro circoscritto (in verde). In pratica, p = particelle e ampiezza α = n = 324. Dunque:
p = (α / 4,5) = 324 / 4,5 = 72.In questo caso, ho diviso le particelle della superficie (324) per 4,5 (40,5 / 9) e il risultato è stato la totalità delle particelle adiacenti al perimetro. Dunque, per calcolare il perimetro circoscritto non rimane che trovare la radice quadrata di una particella e, poi, moltiplicarla per le particelle adiacenti. Cioè, con OX = 1:
√p = OX / 9 = 1 / 9 = 0,1…1.E poi:
P = p x √p = 72 x 0,1…1 = 8.
Trovato il perimetro, si è già capito che, posso calcolare le particelle di un settore o di qualsiasi altra frazione del perimetro circoscritto.
Pitagora e ipotenusa
Inizio il discorso dal perimetro, quindi presento subito un modo diverso per calcolarlo. Un, nuovo, sistema più appropriato alle frazioni e alla complessità di una ipotenusa. Significa che non mi rivolgerò direttamente ai lati. Perché, preferisco usare le particelle e i settori del quadrato.
A proposito di particelle e settori. So già che un quadrante è composto da ottantuno particelle (9 x 9) e che ogni quadrante ha due settori. So anche che la ripartizione del quadrato è in rapporto di un nono. Quindi, se divido un quadrante per due, ottengo le particelle di un settore: 81 / 2 = 40,5. Ciò significa che n è un numero reale compreso tra 0 e 324. Mentre, se voglio il numero che corrisponde al perimetro intero, allora n = 324. Ed è proprio quello che voglio fare ora. Pertanto, per prima cosa, produco le particelle adiacenti al perimetro circoscritto (in verde). In pratica, p = particelle e ampiezza α = n = 324. Dunque:
p = (α / 4,5) = 324 / 4,5 = 72.In questo caso, ho diviso le particelle della superficie (324) per 4,5 (40,5 / 9) e il risultato è stato la totalità delle particelle adiacenti al perimetro. Dunque, per calcolare il perimetro circoscritto non rimane che trovare la radice quadrata di una particella e, poi, moltiplicarla per le particelle adiacenti. Cioè, con OX = 1:
√p = OX / 9 = 1 / 9 = 0,1…1.E poi:
P = p x √p = 72 x 0,1…1 = 8.
Trovato il perimetro, si è già capito che, posso calcolare le particelle di un settore o di qualsiasi altra frazione del perimetro circoscritto.
Ipotenusa di Pitagora e sovrapposizione con la diagonale
Pitagora e ipotenusa
Fatta la premessa, per fare un primo esempio calcolo la lunghezza del primo settore, cioè del lato AB = 40,5:
AB = (40,5 / 4,5) x (OX / 9) =
AB = 9 x (1 / 9) =
AB = 9 x 0,1…1 = 1.
Prima di andare avanti noto che il calcolatore ha restituito AB = 1. In vero, so bene che si tratta di un numero indefinito (0,9…9) a cui manca un punto o meglio un parimpari per completare l’unità. Comunque, con “Superficie quadrata” ho già evidenziato la circostanza però con numeri “irrazionali“. Ma al momento, ammetto la conclusione del calcolatore.
Il lato AB si sovrappone con il vertice B, quindi se lo uso per calcolare l’ipotenusa Y allora è anche una diagonale. In proposito, so bene che quando sono in sovrapposizione sono uguali (quarto Assioma), però è bene dire che distinguo la diagonale OB dall’ipotenusa OY perché è una costante e, come vedremmo più avanti, ha proprietà diverse. E poi, è la retta più lunga che si può inscrivere in un quadrato. Perciò è il punto di arrivo o quello di partenza per l’ipotenusa Y. Per non di meno, la calcolo:
OB² = √AB² + BX² = √1 + 1 = √2 = 1,4142135623730950488016887242097.Già che ci sono calcolo anche l’area di una particella = a:
a = (OX / 9)² = (1 / 9)² = 0,1…1² = 0,01234567901234567901234567901235.E poi, incomincio a dare anche una visione in particelle del quadrato costruito sulla diagonale. Cioè:
OB² = (AB² + BX²) x a = (81 + 81) x a =
OB² = 162 x 0,01234567p01234567901234567901235 = 2.
Quindi:
OB = √2 = 1,4142135623730950488016887242097.
Cosicché cambia la procedura ma si conferma che le particelle sono in rapporto diretto con gli elementi del quadrato.
Pitagora e ipotenusa
Fatta la premessa, per fare un primo esempio calcolo la lunghezza del primo settore, cioè del lato AB = 40,5:
AB = (40,5 / 4,5) x (OX / 9) = AB = 9 x (1 / 9) = AB = 9 x 0,1…1 = 1.
Prima di andare avanti noto che il calcolatore ha restituito AB = 1. In vero, so bene che si tratta di un numero indefinito (0,9…9) a cui manca un punto o meglio un parimpari per completare l’unità. Comunque, con “Superficie quadrata” ho già evidenziato la circostanza però con numeri “irrazionali“. Ma al momento, ammetto la conclusione del calcolatore.
Il lato AB si sovrappone con il vertice B, quindi se lo uso per calcolare l’ipotenusa Y allora è anche una diagonale. In proposito, so bene che quando sono in sovrapposizione sono uguali (quarto Assioma), però è bene dire che distinguo la diagonale OB dall’ipotenusa OY perché è una costante e, come vedremmo più avanti, ha proprietà diverse. E poi, è la retta più lunga che si può inscrivere in un quadrato. Perciò è il punto di arrivo o quello di partenza per l’ipotenusa Y. Per non di meno, la calcolo:
OB² = √AB² + BX² = √1 + 1 = √2 = 1,4142135623730950488016887242097.Già che ci sono calcolo anche l’area di una particella = a:
a = (OX / 9)² = (1 / 9)² = 0,1…1² = 0,01234567901234567901234567901235.E poi, incomincio a dare anche una visione in particelle del quadrato costruito sulla diagonale. Cioè:
OB² = (AB² + BX²) x a = (81 + 81) x a = OB² = 162 x 0,01234567p01234567901234567901235 = 2.
Quindi:
OB = √2 = 1,4142135623730950488016887242097.
Cosicché cambia la procedura ma si conferma che le particelle sono in rapporto diretto con gli elementi del quadrato.
Ipotenusa e relazione con le particelle
Pitagora e ipotenusa
È chiaro che se una retta non è in sovrapposizione con un lato o una diagonale, allora è un’ipotenusa. In questa parte, dunque, per il calcolo delle ipotenuse Y farò alcuni esempi con frazioni del settore AB. E con questo scopo, sia OX = 1 mentre α = 13,5. E poi ripeto con α = 27 . Quindi calcolo sia le particelle sia l’area del quadrati costruiti su Y e Yn:
p = (α / 4,5) = 13,5 / 4,5 = 3.
p = (α / 4,5) = 27 / 4,5 = 6.
Quindi calcolo l’area AY²:
AY² = (p x √p)² =
AY² = (3 x 0,1…1)² = 0,3…3² = 0,1…1.
E poi AYn²:
AYn² = (p x √p)² =
AYn² = (6 x 0,1…1)² = 0,6…6² = 0,4…4.
Ciò fatto, produco le relative ipotenuse OY e OYn con il Teorema di Pitagora:
OY = √(AB² + AY²) = √(1 + 0,1…1) = √1,1…1 = 1,0540925533894597773329645148109.
OY = √(AB² + AYn²) = √(1 + 0,4…4) = √1,4…4 = 1,2018504251546630977064070891568.
Prodotte due ipotenuse, le confronterò con un nuovo e diverso procedimento basato sulle particelle. A tal fine, produco le particelle dei quadrati costruiti sui cateti AY e AYn. Cioè:
AY = 3² = 9.
Mentre:
AYn = 6² = 36.
Ciò vuol dire che le particelle delle ipotenuse sono:
OY= 81 + 9 = 90.
OYn = 81 + 36 = 117.Prima ho detto che la relazione (n / 4,5) restituisce un numero in proporzione con le particelle della superficie del quadrato. Ora mi piace pensare che anche la radice sia in proporzione con le particelle e cerco una conferma a questa tesi. Dunque metto sotto radice le particelle di OY e OYn:
√OY = √90 = 9,4868329805051379959966806332982.
√OYn = √117 = 10,816653826391967879357663802411.
E poi divido per nove:
OY = 9,4868329805051379959966806332982 / 9 = 1,0540925533894597773329645148109.
OYn = 10,816653826391967879357663802411 / 9 = 1,2018504251546630977064070891568.
Il risultati hanno riprodotto quelli ottenuti con il teorema di Pitagora. E questo, dimostra che i numeri supportano la tesi e aprono la strada a una diversa interpretazione del teorema.
Pitagora e ipotenusa
È chiaro che se una retta non è in sovrapposizione con un lato o una diagonale, allora è un’ipotenusa. In questa parte, dunque, per il calcolo delle ipotenuse Y farò alcuni esempi con frazioni del settore AB. E con questo scopo, sia OX = 1 mentre α = 13,5. E poi ripeto con α = 27 . Quindi calcolo sia le particelle sia l’area del quadrati costruiti su Y e Yn:
p = (α / 4,5) = 13,5 / 4,5 = 3. p = (α / 4,5) = 27 / 4,5 = 6.
Quindi calcolo l’area AY²:
AY² = (p x √p)² = AY² = (3 x 0,1…1)² = 0,3…3² = 0,1…1.
E poi AYn²:
AYn² = (p x √p)² =
AYn² = (6 x 0,1…1)² = 0,6…6² = 0,4…4.
Ciò fatto, produco le relative ipotenuse OY e OYn con il Teorema di Pitagora:
OY = √(AB² + AY²) = √(1 + 0,1…1) = √1,1…1 = 1,0540925533894597773329645148109. OY = √(AB² + AYn²) = √(1 + 0,4…4) = √1,4…4 = 1,2018504251546630977064070891568.
Prodotte due ipotenuse, le confronterò con un nuovo e diverso procedimento basato sulle particelle. A tal fine, produco le particelle dei quadrati costruiti sui cateti AY e AYn. Cioè:
AY = 3² = 9.
Mentre:
AYn = 6² = 36.
Ciò vuol dire che le particelle delle ipotenuse sono:
OY= 81 + 9 = 90.
OYn = 81 + 36 = 117.Prima ho detto che la relazione (n / 4,5) restituisce un numero in proporzione con le particelle della superficie del quadrato. Ora mi piace pensare che anche la radice sia in proporzione con le particelle e cerco una conferma a questa tesi. Dunque metto sotto radice le particelle di OY e OYn:
√OY = √90 = 9,4868329805051379959966806332982.
√OYn = √117 = 10,816653826391967879357663802411.
E poi divido per nove:
OY = 9,4868329805051379959966806332982 / 9 = 1,0540925533894597773329645148109.
OYn = 10,816653826391967879357663802411 / 9 = 1,2018504251546630977064070891568.
Il risultati hanno riprodotto quelli ottenuti con il teorema di Pitagora. E questo, dimostra che i numeri supportano la tesi e aprono la strada a una diversa interpretazione del teorema.
Centro del settore W e sovrapposizione di Y
Ipotenusa e Pitagora
Poiché i numeri ci danno ragione, ripeto il calcolo con l’ipotenusa che coincide con la metà esatta del settore uno. A tal proposito, sia α = 20,25:
p = (α / 4,5) = (20,25 / 4,5) = 4,5 .
E chiaro che l’inverso (4,5 x 4,5) mi riporta a 20,25, dunque sommo subito le particelle relative alla superficie dell’ipotenusa OW.
particelle = (AB² + p²) = 81 + 20,25 = 101,25.Quindi le metto sotto radice e poi divido per nove. Cioè:
OW = (√101,25) / 9 = 10,062305898749053633841281509291 / 9 = 1,1180339887498948482045868343656.
In questo caso Y si sovrappone al punto centrale W del primo settore. Nella circostanza, dunque, sono uguali.
Completati gli esempi, mi rendo conto di essere ancora in base uno, quindi completo la costruzione inserendo la variabile OX. In altre parole:
OW = ((√101,25) / 9) x OX = 1,1180339887498948482045868343656 x 1 = 1,1180339887498948482045868343656.Ciò fatto, non rimane che verificare con il teorema di Pitagora:
OW = √(AB² + AY²) = √1² + (4,5 / √p)² = √1 + (4,5 / 0,1…1)² =
OW = √1 + 0,5² = √1 + 0,25 = √1,25 = 1,1180339887498948482045868343656 .
Pitagora e ipotenusa
Non c’è dubbio che si tratta di un percorso diverso che, alla fine dei conti, produce la stessa superficie. Infatti, se moltiplico l’area (AB² + AY²) per quella di una particella, ottengo la superficie dell’ipotenusa OW. Cioè:
a = √p² = 0,1…1² = 0,01234567901234567901234567901235.
E poi:
OW² = (AB² + AY²) x a = 101,25 x 0,01234567901234567901234567901235 = 1,25.
Che si esplicita con:
OW = √1,25 = 1,1180339887498948482045868343656.E con questo, posso dire che il metodo Frudà e il teorema di Pitagora si dimostrano a vicenda.
Ipotenusa e Pitagora
Poiché i numeri ci danno ragione, ripeto il calcolo con l’ipotenusa che coincide con la metà esatta del settore uno. A tal proposito, sia α = 20,25:
p = (α / 4,5) = (20,25 / 4,5) = 4,5 .
E chiaro che l’inverso (4,5 x 4,5) mi riporta a 20,25, dunque sommo subito le particelle relative alla superficie dell’ipotenusa OW.
particelle = (AB² + p²) = 81 + 20,25 = 101,25.Quindi le metto sotto radice e poi divido per nove. Cioè:
OW = (√101,25) / 9 = 10,062305898749053633841281509291 / 9 = 1,1180339887498948482045868343656.
In questo caso Y si sovrappone al punto centrale W del primo settore. Nella circostanza, dunque, sono uguali.
Completati gli esempi, mi rendo conto di essere ancora in base uno, quindi completo la costruzione inserendo la variabile OX. In altre parole:
OW = ((√101,25) / 9) x OX = 1,1180339887498948482045868343656 x 1 = 1,1180339887498948482045868343656.Ciò fatto, non rimane che verificare con il teorema di Pitagora:
OW = √(AB² + AY²) = √1² + (4,5 / √p)² = √1 + (4,5 / 0,1…1)² = OW = √1 + 0,5² = √1 + 0,25 = √1,25 = 1,1180339887498948482045868343656 .
Pitagora e ipotenusa
Non c’è dubbio che si tratta di un percorso diverso che, alla fine dei conti, produce la stessa superficie. Infatti, se moltiplico l’area (AB² + AY²) per quella di una particella, ottengo la superficie dell’ipotenusa OW. Cioè:
a = √p² = 0,1…1² = 0,01234567901234567901234567901235.
E poi:
OW² = (AB² + AY²) x a = 101,25 x 0,01234567901234567901234567901235 = 1,25.
Che si esplicita con:
OW = √1,25 = 1,1180339887498948482045868343656.E con questo, posso dire che il metodo Frudà e il teorema di Pitagora si dimostrano a vicenda.
Lunghezza delle particelle e diagonale
Pitagora e ipotenusa
Trovato un diverso percorso per il calcolo di un’ipotenusa, quindi lo uso anche per confrontare la diagonale. Nel primo settore, ho lasciato l’ipotenusa sovrapposta alla diagonale. Questo, per i calcoli, significa che le particelle dell’ipotenusa che ho messo sotto radice erano quelle di due quadranti (OA = 81) + (AB = 81) = 162. Ora, le metto sotto radice per capire a quale lunghezza corrispondono:
L = √162 = 12,727922061357855439215198517887.Completato ciò, cerco una corrispondenza con la diagonale OB. Ovvero:
L = OY / √p = 1,4142135623730950488016887242097 / 0,1…1 = 12,727922061357855439215198517887.I risultati si copiano, perciò la radice quadrata di centosessantadue particelle è uguale alla lunghezza della diagonale. Ora non rimane che dividere L per nove e ottengo la diagonale. Cioè:
OY = √162 / 9 =
OY = 12,727922061357855439215198517887 / 9 = 1,4142135623730950488016887242097.
Anche con la diagonale, il nuovo sistema, si conferma corretto.
Pitagora e ipotenusa
Trovato un diverso percorso per il calcolo di un’ipotenusa, quindi lo uso anche per confrontare la diagonale. Nel primo settore, ho lasciato l’ipotenusa sovrapposta alla diagonale. Questo, per i calcoli, significa che le particelle dell’ipotenusa che ho messo sotto radice erano quelle di due quadranti (OA = 81) + (AB = 81) = 162. Ora, le metto sotto radice per capire a quale lunghezza corrispondono:
L = √162 = 12,727922061357855439215198517887.Completato ciò, cerco una corrispondenza con la diagonale OB. Ovvero:
L = OY / √p = 1,4142135623730950488016887242097 / 0,1…1 = 12,727922061357855439215198517887.I risultati si copiano, perciò la radice quadrata di centosessantadue particelle è uguale alla lunghezza della diagonale. Ora non rimane che dividere L per nove e ottengo la diagonale. Cioè:
OY = √162 / 9 = OY = 12,727922061357855439215198517887 / 9 = 1,4142135623730950488016887242097.
Anche con la diagonale, il nuovo sistema, si conferma corretto.
Secondo settore
Per il secondo settore, la differenza più rilevante rispetto a prima è il verso di Y. Nel primo settore, Y si muoveva dall’angolo retto A verso B, mentre ora parte da quello opposto, cioè dal punto X verso B. Tale che B è il punto di vertice in cui si sovrappone Y con la diagonale, Ciò è dovuto al fatto che, con il teorema di Pitagora, è necessario almeno un angolo retto.
L’ampiezza, del secondo settore (BX) è sempre uguale a ottantuno particelle. Ma come detto, con la visione di Pitagora, non si poteva vedere come l’ipotenusa ruota in un quadrato. E tanto meno il concetto di particelle. Comunque visto che la geometria è l’interfaccia dei numeri, ora, preferisco guardare una figura più completa che contempla il quadrato per intero. Perciò, si parte dal principio che tutte le parti ricompongono sempre il quadrato. In altre parole, i movimenti si svolgeranno tutti all’interno della superficie quadrata.
Esistono molte dimostrazioni geometriche del teorema di Pitagora perciò preferisco continuare il discorso con i numeri. È chiaro che le ipotenuse sono infinite quindi, come ho fatto per il primo settore, ne calcolo solo tre. E per facilitare il confronto dei risultati con il primo settore ripeto le stesse ampiezze usate prima. Comunque, tutto questo, è utile per integrare altre costruzioni al teorema di Pitagora.
Per il secondo settore, la differenza più rilevante rispetto a prima è il verso di Y. Nel primo settore, Y si muoveva dall’angolo retto A verso B, mentre ora parte da quello opposto, cioè dal punto X verso B. Tale che B è il punto di vertice in cui si sovrappone Y con la diagonale, Ciò è dovuto al fatto che, con il teorema di Pitagora, è necessario almeno un angolo retto.
L’ampiezza, del secondo settore (BX) è sempre uguale a ottantuno particelle. Ma come detto, con la visione di Pitagora, non si poteva vedere come l’ipotenusa ruota in un quadrato. E tanto meno il concetto di particelle. Comunque visto che la geometria è l’interfaccia dei numeri, ora, preferisco guardare una figura più completa che contempla il quadrato per intero. Perciò, si parte dal principio che tutte le parti ricompongono sempre il quadrato. In altre parole, i movimenti si svolgeranno tutti all’interno della superficie quadrata.
Esistono molte dimostrazioni geometriche del teorema di Pitagora perciò preferisco continuare il discorso con i numeri. È chiaro che le ipotenuse sono infinite quindi, come ho fatto per il primo settore, ne calcolo solo tre. E per facilitare il confronto dei risultati con il primo settore ripeto le stesse ampiezze usate prima. Comunque, tutto questo, è utile per integrare altre costruzioni al teorema di Pitagora.
Continuo con l’ipotenusa senza il teorema di Pitagora
Pitagora e ipotenusa
Ciò detto, se siete d’accordo, ricalcolo le particelle adiacenti al segmento del perimetro che parte dal punto A e arriva a quello Y = (40,5 + 13,5 = 54). Vale a dire:
p = (α = / 4,5) = 54 / 4,5 = 12.
Dunque le distinguo: so già che nove sono del primo settore AB quindi ne rimangono tre che appartengono al segmento BY. In pratica:
BY = (12 - 9) = 3.
E poi, calcolo anche quelle che vanno da A a Y₁:
p = (α = / 4,5) = 67,5 / 4,5 = 15.
Quindi:
XY = (15 - 9) = 6.
Pitagora e ipotenusa
Segue che le particelle dei rispettivi quadrati sono:
BY² = 3² = 9
XY² = 6² =36
Adesso, calcolo le particelle complessive delle due aree cioè aggiungo, a ciascuna, quelle di un quadrante:
particelle BY = (BY² + 81) = 9 + 81 = 90.
particelle XY =(XY² + 81) = 36 + 81 = 117.
Questo vuol dire che, dalle particelle, posso calcolare la lunghezza delle due aree, In pratica:
Lunghezza BY = (BY x √p) = 90 x 0,1…1 = 10.
Lunghezza XY = (XY x √p) = 117 x 0,1…1 = 13.
Pitagora e ipotenusa
Ciò detto, se siete d’accordo, ricalcolo le particelle adiacenti al segmento del perimetro che parte dal punto A e arriva a quello Y = (40,5 + 13,5 = 54). Vale a dire:
p = (α = / 4,5) = 54 / 4,5 = 12.
Dunque le distinguo: so già che nove sono del primo settore AB quindi ne rimangono tre che appartengono al segmento BY. In pratica:
BY = (12 - 9) = 3.
E poi, calcolo anche quelle che vanno da A a Y₁:
p = (α = / 4,5) = 67,5 / 4,5 = 15.
Quindi:
XY = (15 - 9) = 6.Pitagora e ipotenusa
Segue che le particelle dei rispettivi quadrati sono:
BY² = 3² = 9 XY² = 6² =36
Adesso, calcolo le particelle complessive delle due aree cioè aggiungo, a ciascuna, quelle di un quadrante:
particelle BY = (BY² + 81) = 9 + 81 = 90. particelle XY =(XY² + 81) = 36 + 81 = 117.
Questo vuol dire che, dalle particelle, posso calcolare la lunghezza delle due aree, In pratica:
Lunghezza XY = (XY x √p) = 117 x 0,1…1 = 13.
Aree dei cateti senza il teorema di Pitagora
Ipotesi di scuola 500 a. C.
L’obbiettivo era di calcolare le aree dei cateti senza elevare al quadrato quindi lo faccio:
Area BY = (Lunghezza BY / 9) = 10 / 9 = 1,1…1.
Area XY = (Lunghezza XY / 9) = 13 / 9 = 1,4…4.
Come si può vedere, produrre le aree con questa tecnica equivale a elevare alla seconda i cateti del teorema di Pitagora. E per fare un confronto le ricostruisco elevando al quadrato. Cioè:
A = (OX² + BY²) = (1 + (0,3…3)²) = (1 + 0,1…1) = 1,1…1.
A = (OX² + XY²) = (1 + (0,6…6)²) = (1 + 0,4…4) = 1,4…4.
I risultati confermano la validità delle procedure, perciò esplicito con le ipotenuse:
OY = √1,1…1 = 1,0540925533894597773329645148109.
OY₁ = √1,4…4 = 1,2018504251546630977064070891568.Nel secondo settore le ipotenuse Y sono uguali a quelle del primo, e non poteva essere altrimenti, dato che sono state calcolate con la corrispondente ampiezza del primo settore.
Con il concetto di particelle, è chiaro che, si agisce all’interno del quadrato. Dunque tutto è proporzionato alla semiretta OX, e quando varia si capisce che cambiano tutti gli elementi del quadrato compresa l’area OX². Voglio dire che, se OX è il cateto più lungo del triangolo rettangolo (OXY) contenuto nel quadrante allora è sufficiente indicare l’area di questa parte solo con il numero delle particelle del quadrante (81). E, di conseguenza, anche i cateti minori saranno proporzionati al lato del quadrato (XY) o (BY). Tale che qualsiasi triangolo rettangolo può essere inglobato nel quadrato. Ciò detto, uso l’intuizione per aggiungere ancora un altro modo di calcolare la superficie di una ipotenusa. In questo caso, però, considerato che ho già eseguito i confronti, voglio cambiare l’ampiezza con una frazione casule α = 1,23 e OX = 1:
BY = 1,23 / 4,5 = 0,273…3.
Quindi:
OY² =((81 + BY²) / 81) x OX =
OY² = ((81 + 0,273…3²) / 81) x 1 =
OY² = (81 + 0,07471…1) / 81) x 1 = (81,07471…1 / 81) x 1 =
OY² = 1,0009223593964334705075445816187 x 1 = 1,0009223593964334705075445816187.
Allora:
OY = √OY² = √1,0009223593964334705075445816187 = 1,0004610734038748548812501789429.
Ipotesi di scuola 500 a. C.
L’obbiettivo era di calcolare le aree dei cateti senza elevare al quadrato quindi lo faccio:
Area BY = (Lunghezza BY / 9) = 10 / 9 = 1,1…1. Area XY = (Lunghezza XY / 9) = 13 / 9 = 1,4…4.
Come si può vedere, produrre le aree con questa tecnica equivale a elevare alla seconda i cateti del teorema di Pitagora. E per fare un confronto le ricostruisco elevando al quadrato. Cioè:
A = (OX² + BY²) = (1 + (0,3…3)²) = (1 + 0,1…1) = 1,1…1. A = (OX² + XY²) = (1 + (0,6…6)²) = (1 + 0,4…4) = 1,4…4.
I risultati confermano la validità delle procedure, perciò esplicito con le ipotenuse:
OY = √1,1…1 = 1,0540925533894597773329645148109.
OY₁ = √1,4…4 = 1,2018504251546630977064070891568.Nel secondo settore le ipotenuse Y sono uguali a quelle del primo, e non poteva essere altrimenti, dato che sono state calcolate con la corrispondente ampiezza del primo settore.
Con il concetto di particelle, è chiaro che, si agisce all’interno del quadrato. Dunque tutto è proporzionato alla semiretta OX, e quando varia si capisce che cambiano tutti gli elementi del quadrato compresa l’area OX². Voglio dire che, se OX è il cateto più lungo del triangolo rettangolo (OXY) contenuto nel quadrante allora è sufficiente indicare l’area di questa parte solo con il numero delle particelle del quadrante (81). E, di conseguenza, anche i cateti minori saranno proporzionati al lato del quadrato (XY) o (BY). Tale che qualsiasi triangolo rettangolo può essere inglobato nel quadrato. Ciò detto, uso l’intuizione per aggiungere ancora un altro modo di calcolare la superficie di una ipotenusa. In questo caso, però, considerato che ho già eseguito i confronti, voglio cambiare l’ampiezza con una frazione casule α = 1,23 e OX = 1:
BY = 1,23 / 4,5 = 0,273…3.
Quindi:
OY² =((81 + BY²) / 81) x OX = OY² = ((81 + 0,273…3²) / 81) x 1 = OY² = (81 + 0,07471…1) / 81) x 1 = (81,07471…1 / 81) x 1 = OY² = 1,0009223593964334705075445816187 x 1 = 1,0009223593964334705075445816187.
Allora:
OY = √OY² = √1,0009223593964334705075445816187 = 1,0004610734038748548812501789429.
Concetto di regressione di una ipotenusa senza il teorema di Pitagora
Capisco che la stanchezza, della lettura, è tanta quindi tratterò in sintesi questo argomento. Il concetto di particelle riesce a prescindere dall’angolo retto. Per dire che, se continuo in senso orario allora devo togliere particelle dalla superficie di Y ( Secondo Assioma e terzo Assioma). Per esempio, se tolgo una particella, allora:
P = 81 + (81 - 1) = 81 + 80 = 161.
Quindi:
Y = √161 / 9 = 12,688577540449520380193772746089 / 9 = 1,4098419489388355977993080828988.
Oppure calcolo la superficie dell’ipotenusa ovvero;
Y² = 161 x (OX / 9)² = 161 x 0,1…1² =
Y² = 161 x 0,01234567901234567901234567901235 = 1,9876543209876543209876543209877.
Pitagora e ipotenusa
Dunque:
Y = √1,9876543209876543209876543209877 = 1,4098419489388355977993080828988.
Produco un ultimo esempio con il centro del settore. Cioè:
P = 81 + (81 - (40,5 + 20,25)) = 81 + (81 - 60,75) = 81 + 20,25 = 101,25.
Quindi:
Y = √101,25 / 9 = 10,062305898749053633841281509291 / 9 = 1,1180339887498948482045868343656.
In altre parole, in questo caso ho tolto l’ampiezza 60,75. Cioè, da due cateti interi (81 + 81 = 162) ho sottratto tre quarti di un quadrante (20,25 x 3 = 60,75).
Capisco che la stanchezza, della lettura, è tanta quindi tratterò in sintesi questo argomento. Il concetto di particelle riesce a prescindere dall’angolo retto. Per dire che, se continuo in senso orario allora devo togliere particelle dalla superficie di Y ( Secondo Assioma e terzo Assioma). Per esempio, se tolgo una particella, allora:
P = 81 + (81 - 1) = 81 + 80 = 161.
Quindi:
Y = √161 / 9 = 12,688577540449520380193772746089 / 9 = 1,4098419489388355977993080828988.
Oppure calcolo la superficie dell’ipotenusa ovvero;
Y² = 161 x (OX / 9)² = 161 x 0,1…1² = Y² = 161 x 0,01234567901234567901234567901235 = 1,9876543209876543209876543209877.
Pitagora e ipotenusa
Dunque:
Y = √1,9876543209876543209876543209877 = 1,4098419489388355977993080828988.
Produco un ultimo esempio con il centro del settore. Cioè:
P = 81 + (81 - (40,5 + 20,25)) = 81 + (81 - 60,75) = 81 + 20,25 = 101,25.
Quindi:
Y = √101,25 / 9 = 10,062305898749053633841281509291 / 9 = 1,1180339887498948482045868343656.
In altre parole, in questo caso ho tolto l’ampiezza 60,75. Cioè, da due cateti interi (81 + 81 = 162) ho sottratto tre quarti di un quadrante (20,25 x 3 = 60,75).
Specularità, ampiezza e posizione dell’ipotenusa
Voglio dire che, nel primo settore, per produrre le particelle, ho applicato p = (α / 4,5) = 13,5 / 4,5 = 3 mentre nel secondo, per produrre la stessa ipotenusa, ho impostato p =(α / 4,5) = 54 / 4,5 = 12. E poi, ho sottratto nove particelle. Cioè, l’ampiezza del primo settore. In pratica, ciò, implica solo il cambio della posizione di una ipotenusa ma non la sua misura. E per evitare confusione lo ripeto con i numeri:
54 / 4,5 = 12 -
40,5 / 4,5 = 9 =
13,5 / 4,5 = 3
É chiaro che la stessa procedura vale anche per qualsiasi x parte del perimetro.
Dunque se conosco il numero delle particelle che limitano il segmento del perimetro BY = 3 allora, per inverso, posso calcolare l’ampiezza = 3 x 4,5 = 13,5. Il concetto di ampiezza include anche quello di posizione e continuando, con questo filo logico, si lega anche a quello di specularità. Infatti, l’ipotenusa di ogni settore è speculare alla retta del settore opposto.
Forse è meglio prendersi una pausa e lasciare a dopo il quadrato inscritto, il cerchio e il Pi greco naturale.
Voglio dire che, nel primo settore, per produrre le particelle, ho applicato p = (α / 4,5) = 13,5 / 4,5 = 3 mentre nel secondo, per produrre la stessa ipotenusa, ho impostato p =(α / 4,5) = 54 / 4,5 = 12. E poi, ho sottratto nove particelle. Cioè, l’ampiezza del primo settore. In pratica, ciò, implica solo il cambio della posizione di una ipotenusa ma non la sua misura. E per evitare confusione lo ripeto con i numeri:
54 / 4,5 = 12 - 40,5 / 4,5 = 9 = 13,5 / 4,5 = 3
É chiaro che la stessa procedura vale anche per qualsiasi x parte del perimetro.
Dunque se conosco il numero delle particelle che limitano il segmento del perimetro BY = 3 allora, per inverso, posso calcolare l’ampiezza = 3 x 4,5 = 13,5. Il concetto di ampiezza include anche quello di posizione e continuando, con questo filo logico, si lega anche a quello di specularità. Infatti, l’ipotenusa di ogni settore è speculare alla retta del settore opposto.
Forse è meglio prendersi una pausa e lasciare a dopo il quadrato inscritto, il cerchio e il Pi greco naturale.
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