Il terzo Termine Primitivo, non inserisce altri enti ma definisce i precedenti asserti. Cioè:
Gli estremi di una linea sono punti.
Lunghezze infinite
Come già detto, l’ Autore, dopo aver introdotto il singolo punto e la proliferazione con il primo Termine Primitivo. Ha poi continuato la spiegazione, sui punti, con il secondo concetto primitivo, E ha detto di togliere la larghezza dalla lunghezza. Cioè un estremo della lunghezza. Così che, alla fine, è rimasta una lunghezza infinita. Per esempio, nella figura, ho descritto due lunghezze infinite (poi numero).
Adesso, per ristabilire una parte intera, non ha bisogno di dire altro. Sa già che per essere arrivato a questo punto ho dovuto incontrare il primo intero. E ha detto di lasciarlo “senza larghezza” (1 – 0, …1 = 0,9…9). Ed è quello che ho fatto nel secondo Termine Primitivo. Il terzo Termine dunque è l’identificazione di una parte di infinito. E, per completarlo, non deve fare altro che aggiunge ciò che aveva tolto.
linea intera
E non c’è dubbio, che tutto ciò ha delimitato la linea come un intero. Per di più, il terzo Termine Primitivo pone le condizioni per trattare, in modo corretto, ciò che intercorre tra i due estremi. Cioè la lunghezza. Dunque ci dice che tutte le lunghezze hanno un termine. E non ha importanza che siano composte da un indefinito, da un intero o entrambi. In ogni caso, li devo racchiudere tra due estremi.
Ma ancora più importante, in aggiunta a ciò, e che con il secondo estremo introduce il concetto di ultimo. Dunque di decisione. E tutto ciò è strettamente legato a quello di autodeterminazione. E non sarà una scelta fine a se stessa. Per la semplice ragione che, per i numeri, si tradurrà in quello di precisione. Per ciò, se non voglio correre per sempre dietro a un infinito, da ora in avanti, sarò obbligato a scegliere dove mettere il punto estremo.
Le lunghezze dei Termini Primitivi
Mezzano con frazione periodica dell’ultimo decimale intero
Per entrare nel merito del terzo Termine Primitivo, nel paragrafo precedente, ho fatto alcuni esempi di lunghezze intere infinite. E in aggiunta a questo, è bene dire che esistono anche altre forme. Per ciò per fare un esempio, applico il terzo Termine e delimito un numero infinito tra due estremi. Per di più, cambio anche la forma del numero.
A tal fine, limito un numero infinito a dieci decimali interi. Cioè: K10 = 1,4142135623. E poi, costruisco una lunghezza x. Per meglio dire:
x = ( K10 . 2) / 9 = 2,8284271246 / 9 = 0,31426968051111111111…
Ho scelto una precisione a dieci decimali. Dunque, limito anche la parte periodica alla stessa lunghezza. Cioè:
x1 = ( K10 . 2) + x = 2,8284271246 + 0,31426968051111111111 = 3,1426968051 1111111111.
Tanto che ho un numero definito in venti decimali (dieci + dieci), in regola con il terzo Termine Primitivo. E in aggiunta, è bene dire che, la caratteristica che accomuna tutti i decimali di questo numero è che: ogni decimale è in rapporto di un nono con quello che precede. E questo vale sia per la parte mezzana (che in ogni caso, sarà una parte intera: 3,1426968051) sia per la frazione periodica dell’ultimo decimale intero (1111111111). Dunque la parte periodica è una frazione dell’ultimo decimale mezzano. Ecco perché ho inserito uno spazio,
In ogni caso, ciò, posso mostrarlo con il periodico. Voglio dire che:
3,1426968051 1111111111 / 2,8284271246 = 1,11111111111111111111 07182740104.
E in pratica, il periodico conferma la tesi. Tanto è vero che oltre all’intero, anche i venti decimali sono tutti interi e in rapporto di un nono.
Frazione indefinita
Il terzo Termine Primitivo, come detto, non fa distinzioni e inserisce tutte le lunghezze tra due estremi. E questo è il motivo che mi porta a fare un secondo esempio con una frazione indefinita. Però in questo caso, per facilitare la lettura del numero, scelgo una precisione a cinque decimali. Dunque, preparo la costante: K10 = 1,41421. E poi, produco un indefinito. Cioè:
x = 1 / 1,41421 = 0,70710 85623775818301383…
Ciò fatto, se lascio così il numero, allora non potrò mai trovare il suo quadrato. In altre parole, sarà il calcolatore ad arrotondare per me.
Frazione definita
Un numero senza una fine perde il concetto di ultimo. Tanto che si potrebbe dire che non è reale. Invece, con il Terzo Termine Primitivo, posso scegliere una posizione e chiudere una parte precisa. Voglio dire che:
x = 0,70710 85623.
È chiaro che x, ora, è un numero completo e unico. Cosi ché, ho un numero lineare composto da cinque decimali interi e una frazione decimale della stessa lunghezza (…85623). Tanto che mi permette di elevarlo al quadrato senza temere alcuna approssimazione. E questo mi mette in regola con il Dogma: Ogni numero ha il suo quadrato.
1. Un punto è ciò che non ha parti.
2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.
3. Gli estremi di una linea sono punti.
4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.
5. Una superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza.
6. Gli estremi di una superficie sono linee.
7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.
Assiomi
1. Cose uguali a un’altra sono uguali tra loro.
2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
3. Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
4. Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono uguali tra loro.
5. Il tutto è maggiore della parte.
Ho controllato, tutto OK
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