Quadrati e frazione di un decimale intero
Per esempio, il primo decimale della diagonale di uno (quattro) è il prodotto di una potenza che segue la linea contenuta tra i numeri n > 1,9 n < 2. E dato che questa linea non deve superare il due, allora:
S = 1,4² = 1,96.Mentre per il secondo:
S = 1,41² = 1,9881.E così via. Chiarito che ogni decimale della diagonale di uno è il prodotto di una potenza, posso affermare che si tratta di un numero definito e razionale. È un quadrato. Per verificare questa affermazione seguirò una proporzione precisa che in questo caso è quella di un nono (1/9 = 0,1…1). Cioè, tra un qualsiasi numero decimale intero e il successivo, avremo sempre un resto pari a un nono. Quindi, se moltiplico 1,41² per un periodico definito a quattro decimali (0,1111) il prodotto sarà un numero con quattro decimali interi e una frazione di uguale lunghezza. Cioè:
x = 1,9881 x 0,1111 = 0,2208 7791.Composizione di un quadrato non perfetto
Ciò fatto, so già che In questo caso, i primi quattro decimali del prodotto sono interi (sono il frutto della limitazione del periodico), mentre quelli che seguono sono la frazione dell'ultimo decimale intero. In più, so che il prodotto è il risultato di una potenza. Per dire che la superficie del quadrato è scomponibile in diversi modi (vedi lo gnomone). Ora si tratta di capire quante volte x entra nella superficie. Cioè:
S / x = 1,981 / 0,2208 7791 = 9,0009000900090009000900090009001.Dunque è contenuto nove volte con un resto regolare. Perciò:
a = (x . 9) = 0,2208 7791 x 9 = 1,9879 0119.
Poi per produrre il resto:
b = S - a = 1,9881 - 1,9879 0119 = 0,00019881.A questo punto è chiaro che se sommo di nuovo a e b allora ottengo S. Cioè S = a + b:
1,9879 0119 + 0,0001 9881 = 1,9881
A questo punto rimane il fatto che ho scomposto e ricomposto la superficie di un quadrato non perfetto e messo in evidenza la frazione dell'ultimo punto decimale. Tale che, ora, ho capito cos'è la frazione di un decimale intero. Tanto che, voglio dirlo anche in altro modo e con altri numeri.
Regolarità degli "irrazionali"
Per la prova, produco il decimo di d = 1,414213 / 10 = 0,1414213. Poi, il nono di d = 1,414213 / 9 = 0,157134 777777...
Ho scelto una precisione a sei decimali, quindi limito anche la parte periodica alla stessa lunghezza. Adesso, se al nono di d sottraggo il decimo di d, si produce la rimanenza tra il primo e il secondo numero. Cioè:
0,157134777777-
0,1414213 =
0,015713477777
La rimanenza, nella relativa posizione decimale, sarà sempre pari al nono del numero (d) che precede. Ora, passo-passo, continuo la verifica per le altre posizioni:
0,015713477777- 0,01414213 = 0,001571347777- 0,001414213 = 0,000157134777- 0,0001414213 = 0,000015713477- 0,00001414213 = 0,000001571347- 0,000001414213= 0,000000157134
Discese le sei posizioni si può vedere che le rimanenze, ognuna per la propria posizione decimale, sono congruenti con il nono del numero d che precede. Cioè, si conferma che la sequenza decimale di 1,414213 è regolare e proporzionata al rapporto di un nono (proprio come avviene per il periodico 1 / 9 = 0,1...1).
Frazione di un decimale
Adesso che ho azzerato la parte intera del numero (0,015713477777). Ciò che è rimasto (0,000000157134), non può che essere una frazione della divisione dell'ultimo decimale intero (0,000000777777).
E appunto, per verificare quest'ultima affermazione, ricompongo per intero il numero in addizione. Questa volta però bado a inserire uno spazio per indicare la separazione dei decimali interi dalla frazione del sesto decimale. Vale a dire:
0,141421 3 + 0,014142 13 0,001414 213 0,000141 4213 0,000014 14213 0,000001 414213 = 0,157134 620643
Ancora di più, continuo a sostenere che i numeri irrazionali hanno la stessa regolarità aritmetica dei numeri periodici (frazione d'intero). E posso riconfermarlo, anche per moltiplicazione d . (1 / 9). Cioè:
1,414213 x 0,111111 = 0,000000 141421 3 14142 13 1414 213 141 4213 14 14213 1 414213 = 0,157134 620643
Dunque:
1,414213 . 0,111111 = 0,157134 620643.
Ricomposti i decimali interi. E staccata la frazione dall'ultimo decimale intero (…620643) dal resto del numero. Posso vedere che, la divisione della frazione, non è ancora una parte intera (…777777). Al contrario, è una frazione mezzana. Perciò, per completare il numero, non rimane che aggiungere la rimanenza ottenuta in precedenza ossia 0,000000 157134:
0,157134 620643 + 0,000000 157134 = 0,157134 777777
Costante K10
Ho scomposto e ricomposto, per bene, il numero con la costante K10 = 1,414213… Inoltre, si conferma che anche la frazione decimale (…777777) è in relazione con il rapporto di un nono. Per dire che, questi numeri, non possono essere scomposti con numeri naturali. Di conseguenza, non potranno mai rispondere a una frazione tra interi naturali del tipo a / b con a e b interi. Perché, appartengono a un'altra classe.
Se prima guardavo, da sola, la somma 0,157134 620643 sembrava un numero confuso o "irrazionale". Tuttavia la scomposizione e composizione, effettuata tra numeri della stessa classe, ha provato la regolarità quindi razionalità. Inoltre, l'aggiunta della rimanenza del nono ha chiarito come si completa una frazione intera in relazione all'ultimo decimale intero (…777777).
Bisogna riconoscere dunque che la sola virgola non è più sufficiente per questo concetto. Ecco perché, bisogna inserire uno spazio che separa le due parti e indica dove inizia la frazione di un decimale.
In proposito, potrebbe essere utile leggere gnomone e riguardo R.
I separatori decimali, nella comunità, non sono applicati in modo uniforme e comunque non prevedono la frazione di un decimale.
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