Gnomone
Il quadrato è una figura semplice. Ma se approfondisco, oltre a diagonale e lati, scopro altri elementi come lo gnomone. Sono controcorrente, e non posso dilungarmi, quindi entro subito nel merito della conformazione geometrica della superficie quadrata. Che poi è anche quella aritmetica dei numeri.
La scelta è obbligatoria.
So che posso suddividere la superficie del quadrato in due modi: uno per la crescita degli interi e l’altro per i mezzani (ex irrazionali). In questo articolo, scelgo di seguire la diagonale quindi divido la superfice in quattro parti. E resteranno costanti, per tutto l’accrescimento dei “numeri irrazionali“.
- L’ area del quadrato OA definisce la parte intera del numero;
- Le due aree F fissano la frazione dell’intero;
- l’area R è la frazione dell’ultimo decimale intero di F. Cioè, è la frazione della frazione intera (indefinito).
E, per l’appunto, (F + F + R) formano lo gnomone, mentre se aggiungo pure OA si completa la superficie.
Data l’idea della geometria delle due linee. Per i calcoli, ammetto la diagonale di uno, che fisso alla precisione di quattordici decimali interi d = 1,41421356237309. E poi: il lato OX = 1. Ciò fatto, divido il lato in due segmenti OA e AX:
OA = (OX / 1,41421356237309) = 0,70710678118655 004880168872421871;
AX = (OX - OA) = 0,29289321881344 995119831127578129.
Nel quadrato, tutto è proporzionato. Cioè, al variare del lato il rapporto rimane costante 𝑥 / 𝑦 = 𝐾. Dunque, su questa base, sistemo sotto forma di proporzione i segmenti OA – AX e il lato OX = 1.
Il quadrato è una figura semplice. Ma se approfondisco, oltre a diagonale e lati, scopro altri elementi come lo gnomone. Sono controcorrente, e non posso dilungarmi, quindi entro subito nel merito della conformazione geometrica della superficie quadrata. Che poi è anche quella aritmetica dei numeri.
La scelta è obbligatoria.
So che posso suddividere la superficie del quadrato in due modi: uno per la crescita degli interi e l’altro per i mezzani (ex irrazionali). In questo articolo, scelgo di seguire la diagonale quindi divido la superfice in quattro parti. E resteranno costanti, per tutto l’accrescimento dei “numeri irrazionali“.
- L’ area del quadrato OA definisce la parte intera del numero;
- Le due aree F fissano la frazione dell’intero;
- l’area R è la frazione dell’ultimo decimale intero di F. Cioè, è la frazione della frazione intera (indefinito).
E, per l’appunto, (F + F + R) formano lo gnomone, mentre se aggiungo pure OA si completa la superficie.
Data l’idea della geometria delle due linee. Per i calcoli, ammetto la diagonale di uno, che fisso alla precisione di quattordici decimali interi d = 1,41421356237309. E poi: il lato OX = 1. Ciò fatto, divido il lato in due segmenti OA e AX:
OA = (OX / 1,41421356237309) = 0,70710678118655 004880168872421871; AX = (OX - OA) = 0,29289321881344 995119831127578129.
Nel quadrato, tutto è proporzionato. Cioè, al variare del lato il rapporto rimane costante 𝑥 / 𝑦 = 𝐾. Dunque, su questa base, sistemo sotto forma di proporzione i segmenti OA – AX e il lato OX = 1.
Sviluppo delle proporzioni
a . K17 = AX : OX = OX : AX = 11,65685424949258 1132414036347826;
b . K15 = AX : OA = OA : AX = 5,82842712474633 21816652388495804;
c . K14 = AX : OX = OX : OA = 4,82842712474621 4475374398749123;
d . K12 = OX : OX = OA : AX = 2,41421356237312 4475374398749123.
La parte staccata da uno spazio (in rosso), è la frazione dell’ultimo decimale intero.
Ciò fatto, ho prodotto quattro numeri proporzionali assoluti. Utili per calcolare le aree della superficie quadrata (OA; F; R), anche senza riferimenti lineari.
a . K17 = AX : OX = OX : AX = 11,65685424949258 1132414036347826; b . K15 = AX : OA = OA : AX = 5,82842712474633 21816652388495804; c . K14 = AX : OX = OX : OA = 4,82842712474621 4475374398749123; d . K12 = OX : OX = OA : AX = 2,41421356237312 4475374398749123.
La parte staccata da uno spazio (in rosso), è la frazione dell’ultimo decimale intero.
Ciò fatto, ho prodotto quattro numeri proporzionali assoluti. Utili per calcolare le aree della superficie quadrata (OA; F; R), anche senza riferimenti lineari.
Costruzione dello gnomone
Per quanto ne vogliano dire i miei insegnanti, la superficie quadrata due non esiste. Perciò, svolgo un esempio con una superficie quadrata reale, che costruirò sulla diagonale di uno. Cioè:
S = d² = 1,41421356237309² =1,99999999999998 57198323561481.Questo vuol dire che il segmento OA = 1 e AX = 0,41421356237309.
Gnomone e superficie quadrata
Adesso che ho le costanti, sono in grado di applicare la proporzionalità, quindi di scomporre la superficie del quadrato ed estrarre lo gnomone (senza i lineari). Inoltre, si confermerà come la struttura dei numeri corrisponde a quella geometrica.
Per esempio, estraggo l’area R dalla superficie S:
R = S / K17 = 1,9999999999999857198323561481 / 11,656854249492581 132414036347826 = 0,17157287525380 57198323561481.
Che equivale a una potenza al quadrato, cioè:
R = AX² = 0,41421356237309² = 0,17157287525380 57198323561481.
Dunque, dopo questo, posso dire che elevare al quadrato il segmento AX ha confermato, in modo preciso, la proporzionalità di questi numeri. Perciò, allo stesso modo, calcolo anche l’area di fascia F:
F = S / K14 = 1,9999999999999857198323561481 / 4,82842712474621 4475374398749123 = 0,41421356237309.Che, a sua volta, corrisponde a:
F = OA . AX =1 . 0,41421356237309 = 0,41421356237309.Prodotte e verificate, con i numeri, le tre parti posso ricostruire lo gnomone = G.
G = (2F + R) = (2 . 0,82842712474618) + 0,17157287525380 57198323561481 = 0,99999999999998 57198323561481.
A questo punto, sono certo che l’area occupata dallo gnomone è esatta. Per cui, posso estrarre OA² per sottrazione:
OA² = S - G = 1,99999999999998 57198323561481 - 0,99999999999998 57198323561481 = 1.
Per quanto ne vogliano dire i miei insegnanti, la superficie quadrata due non esiste. Perciò, svolgo un esempio con una superficie quadrata reale, che costruirò sulla diagonale di uno. Cioè:
S = d² = 1,41421356237309² =1,99999999999998 57198323561481.Questo vuol dire che il segmento OA = 1 e AX = 0,41421356237309.
Gnomone e superficie quadrata
Adesso che ho le costanti, sono in grado di applicare la proporzionalità, quindi di scomporre la superficie del quadrato ed estrarre lo gnomone (senza i lineari). Inoltre, si confermerà come la struttura dei numeri corrisponde a quella geometrica.
Per esempio, estraggo l’area R dalla superficie S:
R = S / K17 = 1,9999999999999857198323561481 / 11,656854249492581 132414036347826 = 0,17157287525380 57198323561481.
Che equivale a una potenza al quadrato, cioè:
R = AX² = 0,41421356237309² = 0,17157287525380 57198323561481.
Dunque, dopo questo, posso dire che elevare al quadrato il segmento AX ha confermato, in modo preciso, la proporzionalità di questi numeri. Perciò, allo stesso modo, calcolo anche l’area di fascia F:
F = S / K14 = 1,9999999999999857198323561481 / 4,82842712474621 4475374398749123 = 0,41421356237309.Che, a sua volta, corrisponde a:
F = OA . AX =1 . 0,41421356237309 = 0,41421356237309.Prodotte e verificate, con i numeri, le tre parti posso ricostruire lo gnomone = G.
G = (2F + R) = (2 . 0,82842712474618) + 0,17157287525380 57198323561481 = 0,99999999999998 57198323561481.
A questo punto, sono certo che l’area occupata dallo gnomone è esatta. Per cui, posso estrarre OA² per sottrazione:
OA² = S - G = 1,99999999999998 57198323561481 - 0,99999999999998 57198323561481 = 1.L’area F dello gnomone
I risultati confermano l’esatta proporzionalità delle aree del quadrato con la superficie. E poi, ad ogni formula corrisponde l’inverso. Si capisce dunque, che sono di fronte ad altri modi per calcolare la superficie. E solo con elementi quadratici:
- S = R . K17
- S = F . K14
Con l’articolo sulla costante K ho presentato le variati K5 e K7 con nove decimali interi e in forma indefinita. In questo caso li voglio in forma intera.
K7 = K5 / 2 = 0,41421356237309 / 2 = 0,207106781186545.
E per fare un esempio, ora, pongo il caso in cui conosco solo R e voglio calcolare le fasce F dello gnomone. Allora:
2F = R / K5 = 0,17157287525380 57198323561481 / 0,207106781186545 = 0,82842712474618.
A questo punto posso calcolare lo gnomone:
G = 2F + R =
0,82842712474618 +
0,17157287525380 57198323561481=
0,99999999999998 57198323561481
I risultati confermano l’esatta proporzionalità delle aree del quadrato con la superficie. E poi, ad ogni formula corrisponde l’inverso. Si capisce dunque, che sono di fronte ad altri modi per calcolare la superficie. E solo con elementi quadratici:
- S = R . K17
- S = F . K14
Con l’articolo sulla costante K ho presentato le variati K5 e K7 con nove decimali interi e in forma indefinita. In questo caso li voglio in forma intera.
K7 = K5 / 2 = 0,41421356237309 / 2 = 0,207106781186545.
E per fare un esempio, ora, pongo il caso in cui conosco solo R e voglio calcolare le fasce F dello gnomone. Allora:
2F = R / K5 = 0,17157287525380 57198323561481 / 0,207106781186545 = 0,82842712474618.
A questo punto posso calcolare lo gnomone:
G = 2F + R =
0,82842712474618 + 0,17157287525380 57198323561481= 0,99999999999998 57198323561481
Struttura aritmetica del numero “irrazionale”
Immagine
La proporzione geometrica dello gnomone equivale a quella aritmetica del numero. Pertanto, posso ricomporre il numero nello stesso modo in cui ho costruito la superficie. In altri termini:
OA = 1 +
2F = 0,82842712474618 +
R = 0,17157287525380 57198323561481 =
S = 1,99999999999998 57198323561481.
- OA è l’intero (prima della virgola);
- F è la frazione intera (dopo la virgola);
- R è la frazione della frazione intera che, a sua volta, si divide in due parti:
- la prima 0,17157287525380, sono tutti decimali interi che completano la frazione (F) al periodico nove (limite massimo di questa frazione);
- la seconda invece (57198323561481) è la frazione dell’ultimo decimale intero di R, che in questo caso è tra zero e il successivo intero. Dunque è sempre una frazione incompleta. Cioè, è la parte di un singolo punto che non ha ancora maturato un intero. Perciò la indico come indefinita.
Ma cosa più importante è che indefinito e intero, sono due cose che non possono essere portate a sovrapporsi (quarto Assioma). Per ciò, non sono uguali. Perché, la parte di un intero, non può essere l’intero.
Altra proprietà di questi numeri e che, seconda e terza parte, avranno sempre la stessa lunghezza decimale (in questo caso sono quattordici per ognuna).
Il quadrato è una figura pura, di conseguenza i suoi elementi non possono essere approssimativi. E questo è anche il caso della radice quadrata. In più, potrebbe essere utile “Progressione geometrica“.
Immagine
La proporzione geometrica dello gnomone equivale a quella aritmetica del numero. Pertanto, posso ricomporre il numero nello stesso modo in cui ho costruito la superficie. In altri termini:
OA = 1 + 2F = 0,82842712474618 + R = 0,17157287525380 57198323561481 = S = 1,99999999999998 57198323561481.
- OA è l’intero (prima della virgola);
- F è la frazione intera (dopo la virgola);
- R è la frazione della frazione intera che, a sua volta, si divide in due parti:
- la prima 0,17157287525380, sono tutti decimali interi che completano la frazione (F) al periodico nove (limite massimo di questa frazione);
- la seconda invece (57198323561481) è la frazione dell’ultimo decimale intero di R, che in questo caso è tra zero e il successivo intero. Dunque è sempre una frazione incompleta. Cioè, è la parte di un singolo punto che non ha ancora maturato un intero. Perciò la indico come indefinita.
Ma cosa più importante è che indefinito e intero, sono due cose che non possono essere portate a sovrapporsi (quarto Assioma). Per ciò, non sono uguali. Perché, la parte di un intero, non può essere l’intero.
Altra proprietà di questi numeri e che, seconda e terza parte, avranno sempre la stessa lunghezza decimale (in questo caso sono quattordici per ognuna).
Il quadrato è una figura pura, di conseguenza i suoi elementi non possono essere approssimativi. E questo è anche il caso della radice quadrata. In più, potrebbe essere utile “Progressione geometrica“.
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