Cerchio razionale
Studente che dibatte l’idea di cerchio razionale
Studente che dibatte l’idea di cerchio razionale
Il concetto di cerchio razionale è davvero interessante. È un aspetto della matematica che è rimasto in sospeso per molto tempo, ed è cruciale per completare la linea dei numeri. Penso che, nella linea dei quadrati perfetti, possa esistere anche quella dei cerchi “perfetti”. Va comunque precisato che il cerchio, in ogni caso, è un elemento del quadrato e, come parte di un quadrato, si colloca sempre tra due quadrati interi (o perfetti). È un’entità intermedia. Comunque, ciò che rende diverso questo cerchio dagli altri è il fatto di avere un numero naturale come raggio (r). Cosicché, il quadrato costruito sul raggio OX, avrà la stessa crescita dei quadrati perfetti.
Possiamo rappresentare la continuità della geometria usando solo rapporti decimali esatti? Oggi vi mostro come i rapporti tra 9 e 10 rivelano una struttura razionale anche dove solitamente vediamo numeri infiniti. Si tratta quindi di trovare un sistema razionale per transitare i numeri da “irrazionali” a razionali intermedi (e non mi sembra una sfida da poco).
Fino ad oggi, per i calcoli sul cerchio si è potuto usare solo Pi greco irrazionale e trascendente (3,14 1592653…). Di conseguenza, tutti i risultati ottenuti con questo numero hanno generato valori irrazionali e questo ha lasciato il cerchio in un mondo approssimato (≈). Per i quadrati, invece, questo problema non si pone, poiché i quadrati perfetti sono ben noti. Tuttavia, considerando solo gli interi, si è presentato lo stesso problema: tutti i quadrati non perfetti o non interi restavano irrazionali . Un problema discusso con: superficie quadrata e radice quadrata di due. Ora, per completare la linea dei numeri, è necessario trovare un metodo per calcolare gli elementi interi del cerchio e “liberare” la precisione oltre il secondo decimale intero.
Il Parimpari: L’Ordinatore dell’Infinito
Parimpari, ordinatore dell’infinito.
Parimpari, ordinatore dell’infinito.
In matematica, ci scontriamo spesso con l’abisso dei numeri periodici. Una frazione come 10/9 =1,111… ci costringe a una divisione che non finisce mai. Ma nella realtà geometrica, abbiamo bisogno di confini certi.
Il Parimpari, è l’unico ente capace di gestire l’infinito. Un ente che non approssima: agisce sull’ultimo punto decimale, permettendoci di decidere dove fermare la sequenza per restare nel campo dei numeri definiti. Per esempio, trasformiamo il 10 attraverso il Parimpari:
Q9 = 10 - 0,00000001 = 9,99999999.Come si può vedere ogni zero, nel parimpari, occupa una posizione tale da soddisfare la mia scelta posizionale nel resto. Una scelta molto importante e se la ignoro rischio di fare la fine dell’asino di Buridano. Fatta la scelta, resterà invariata per tutta la durata dei calcoli.
Il Parimpari, quindi, è il regolatore che permette alla potenza infinita dei numeri di tornare al servizio della precisione aritmetica e geometrica, rendendo possibile un calcolo esatto della superficie e dei suoi elementi.
In più, usando il parimpari posso gestire il nove periodico come preferisco e senza approssimazioni. Voglio dire che posso dividerlo per nove:
Q1 = 9,99999999 / 9 = 1,11111111.E poi moltiplicarlo per una posizione:
Q7 = 1,11111111 * 7 = 7,7777777;Oppure dividerlo per la porzione che soddisfa la crescita dei numeri naturali. Cioè:
Q2 = 9,99999999 / 4,5 = 2,22222222;
Q3 = 9,99999999 / 3 = 3,33333333;
Q4 = 9,99999999 / 2,25 = 4,44444444;
Q5 = 9,99999999 / 1,8 = 5,55555555;
Q6 = 9,99999999 / 1,5 = 6,66666666;
Q7 = 9,99999999 / 1,(285714) = 7,77777777;
Q8 = 9,99999999 / 1,125 = 8,88888888.Si osserva che Q7, per mantenere l’ordine di grandezza dei numeri, è stato espresso come frazione periodica. Ma avremmo modo di vedere quale posizione assume con il quadrato e se si riesce a superare la “scommessa” anche con il cerchio razionale. Nel frattempo:
Q7 = 2,22222222 * 3,5 = 7,7777777;
Q7 = 4,44444444 * 1,75 = 7,7777777;
Q7 = 5,55555555 * 1,4 = 7,7777777;
Q7 = 8,88888888 * 0,875 = 7,7777777.Comunque, rimane il fatto che, come gli altri periodici, è un numero senza approssimazioni e determinato alla numerosità decimale scelta (terzo termine primitivo).
Matematica costruttiva
Mi riconosco nell’intuizionismo di Luitzen Brouwer e nei principi della matematica costruttiva. La prima cosa da fare, quindi, è sviluppare un algoritmo di base da cui partire per progredire nella costruzione esplicita di un oggetto. Faccio quindi alcuni esempi concreti di come il parimpari può gestisce l’infinito. Con questo scopo, produco un periodico semplice infinito, in questo caso il dividendo è in rapporto 1:10 mentre il divisore 1:9. Detto con i numeri a =360/10= 36; b=324/9=36. Ciò detto produco un numero infinito:
Periodico infinito = 360 / 324 = 1,111….Dunque, lo determino a una precisione decimale libera ma soggetta al secondo assioma. In pratica: dato un numero (a), calcolo la parte finale moltiplicando (a) per il parimpari che ha una lunghezza tale da corrisponde alla posizione scelta (0,0…1). Poi, da (a) tolgo il prodotto x e fraziono il resto per (b). Tale che a / b restituisce un numero determinato alla lunghezza decimale scelta. Cioè con a = 360 e b = 324:
Periodico = 360*0,1 = 36 => 360 - 36 = 324 / 324 = 1
Periodico = 360*0,01 = 3,6 => 360 - 3,6 = 356,4 / 324 = 1,1
Periodico = 360*0,001 = 0,36 => 360 - 0,36 = 359,64 / 324 = 1,11
Periodico = 360*0,0001 = 0,036 => 360 - 0,036 = 359,964 / 324 = 1,111Mentre se voglio tornare al numero infinito allora applico il terzo assioma. Cioè, la procedura inversa:
Periodico infinito = 0,036 / 0,0001 = 360. Quindi: 360 / 324 = 1,111…Uno dei principi della matematica costruttiva è il rifiuto dell’infinito attuale (1,111…). Quindi, dopo aver introdotto il parimpari, non ho dubbi che questa sia la strada da seguire ma questo è solo un cartello che indica la distanza da percorrere. Ma ci sarà modo di vedere anche l’inverso del parimpari (0,99999999). Perciò, continuo il discorso con i numeri reali definiti o interi.
Gestione della diagonale infinita cerchio razionale
Adesso che ho un controllo proporzionato, lo applico a un altro numero che si sviluppa sulla diagonale di uno = 1,41421356 * 10 = 14,1421356. Cioè, toglierò la parte finale del numero (quella che causa la frazione infinita) e, per farlo, torno a usare il parimpari. Dunque calcolo l’ultima parte del numero:
Ultima parte = 14,1421356 * 0,00000001 = 0,000000141421356.Anche in questo caso ogni zero sul parimpari accontenta la mia scelta di precisione. Ciò fatto, lo metto in sottrazione:
14,142135600000000 -
0,000000141421356 =
14,142135458578644Tolta la parte che causa l’irraggiungibilità di un intero, mi accerto che sia in corrispondenza con il nove periodico. In pratica:
Q9 = 14,142135458578644 / 1,41421356 = 9,9999999.Ora ripeto le stesse operazione ma con un diverso rapporto di 1:9.
Ultima parte = 12,72792204 * 0,00000001 = 0,0000001272792204.Quindi:
12,7279220400000000-
0,0000001272792204 =
12,7279219127207796.Verifico che il rapporto con il nove periodico sia esatto.
Q9 = 12,7279219127207796 / 1,272792204 = 9,99999999.Tale che
1,41421356 * 9 = 12,72792204.
1,272792204 * 10 = 12,72792204.Ma questo sarà un rapporto che osserveremmo meglio, più avanti, con l’aiuto della geometria .
Mi sembra che gli esempi siano sufficienti per affermare che la scelta della precisione non è arbitraria ma sostenuta dai numeri. Perciò, da ora in poi preferisco non usare più i numeri infiniti (come 80/9 = 8,888…). Perché so bene che ci sarà sempre un punto (o una parte) da dividere senza fine. Per scelta, dunque, preferisco entrare e restare nel campo dei numeri definiti.
Il parimpari è un ente eterno, il solo capace di gestire l’infinito, nel senso che può fermarlo o attivarlo. È il primo ente, ma per molto tempo è rimasto isolato nel suo insieme; ora, però, è un buon momento per rimetterlo in esercizio. I numeri sono una potenza infinita, ma senza controllo rischiamo di perderli.
Analisi dei rapporti di proporzionalità tra aree e diagonali nel sistema decimale
Mi rendo conto che Q1², secondo la definizione di numero razionale, potrebbe far pensare che questa tecnica non rappresenti il quadrato di un altro numero razionale in ℚ. Tuttavia, le regole a volte vanno riviste. Per questo mi soffermo sul quadrato e genero un altro numero razionale proporzionato a Q1, per poi elevarlo al quadrato, cioè:
SuperficieQ = Q3² = 3,33333333² = 11,1111110 888888889.Tale che:
AreaQ = Q3² / 10 = 11,1111110 888888889 / 10 = 1,11111110 888888889.E lo confermo, anche, con base per altezza. Cioè:
AreaQ = Q3 x (Q3 / 10) =
AreaQ = 3,33333333 x 0,333333333 = 1,11111110 88888888889.Dunque:
SuperficieQ = Q1² x 9 = 1,2345678987654321 x 9 = 11,1111110 888888889.
Si tratta di numeri con rapporti diversi (uno a dieci e uno a nove) che portano allo stesso risultato. In questo caso posso ricostruire con precisione la superficie del quadrato anche usando riga e compasso. Q1² è un numero razionale, poiché è un quadrato contenuto in un altro quadrato razionale (Q3²) e possiede una radice quadrata propria e unica. Questa tecnica non si limita ai numeri periodici: può essere applicata anche a tutti gli altri numeri, inclusi gli irrazionali. E non potrebbe essere altrimenti, visto che numeri e geometria sono in perfetta armonia. Non resta quindi che consolidare questa affermazione.
Ripeto i rapporti di proporzionalità con altri numeri
Razionalità della diagonale di uno
Razionalità della diagonale di uno
È stato appena introdotto una nuova tecnica per verificare la razionalità dei numeri. Ormai non ho dubbi: i risultati sono multipli tra loro e perfettamente corrispondenti con la superficie del quadrato. È quindi confermato che le aree hanno un rapporto intero e preciso con la superficie del quadrato, senza alcuna approssimazione.
Adesso si tratta di ripetere alcune operazioni per esplorare la razionalità della diagonale di uno. In più, voglio capire in che modo i numeri irrazionali si collegano a quelli periodici. Detto ciò, inizio i calcoli da una particella. Quindi, sia il lato del quadrato Q3 = 1,41421356 x 3 = 4,24264068. E poi:
P = ((1,41421356 x 3)/10)² = 0,424264068² = 0,179999999 395908624;
Q2² = (0,424264068 x 3)² = 1,272792204² = 1,619999994 563177616;
Q1² = 1,41421356² = 1,99999999 32878736.
So che Q1² e in rapporto di un nono con la superficie quadrata, dunque:
Q3² = Q1² x 9 = 1,99999999 32878736 x 9 = 17,9999999 395908624.Ciò fatto, per produrre l’AreaQ è ancora più semplice infatti, basta che mi ricordi che sono in rapporto di un decimo. Cioè:
AreaQ = Q3² / 10 = 17,99999993 95908624 / 10 = 1,799999993 95908624.Quindi:
SuperficieQ = ( 1,41421356 x 3)² x 4,24264068² = 17,99999993 95908624.
SuperficieQ = P x 100 = 0,179999999395908624 x 100 = 17,99999993 95908624.Tale che:
Q3 = √SuperficieQ = √17,99999993 95908624 = 4,24264068.Si nota che sono del tutto proporzionati con il quadrato. Tanto che, posso collegarli ai periodici. Per ciò presento un primo esempio:
Periodico = 1,41421355858578644 / 0,424264068 = 3,33333333.Simbologia dei numeri determinati cerchio razionale
Il quoziente può sembrare l’indicazione errata di un numero periodico, perché mancano la sopralineatura o i puntini. Per questo continuo a sostenere che il risultato non è una “troncatura” ma il valore esatto di una divisione, e che debba essere scritto per intero (almeno in questa fase). È vero però che finora non ci si è mai confrontati con numeri periodici limitati a una lunghezza decimale precisa e, me ne rendo conto, serve tempo per assimilarne il concetto. In altre parole, non esiste ancora una simbologia matematica che indichi una lunghezza decimale precisa.
Già che ci sono, posso anticipare che tutto ciò è valido anche per il cerchio. Quindi calcolo il Pi greco che rappresenta questi numeri e il relativo quadrato e poi lo divido per Q1 = 1,41421356. Voglio dire:
π = (1,41421356 x 2) x 1,11111111 = 3,14269679 68573032.Dunque se voglio la frazione decimale uso Q1definito= (1,272792204 x 1,11111111)=1,41421355858578644. E poi:
Periodico ∞ = π / Q1definito = 3,1426967968573032 / 1,41421355858578644 = 2,222…Ma, ho già detto che preferisco evitare la frazione infinita, e so bene come fare, dunque aggiungo al divisore ciò che ho tolto prima:
14,1421354 58578644 +
0,0000001 41421356 =
14,1421356 00000000E poi ripeto la frazione:
Periodico = π / Q1 = 3,1426967968573032 / 1,41421356 = 2,22222222.
Analisi dei rapporti di proporzionalità tra elementi lineari e quadratici
Nella figura del quadrato, oltre alle aree, ci sono anche elementi lineari e, tra questi, la più discussa è senza dubbio la diagonale. Perciò, mi soffermo ancora su questi valori e la uso per calcolare la superficie del quadrato Q. In questo caso, non userò la formula x² ma metterò in relazione la diagonale con il segmento OA di un lato, Vale a dire:
SuperficieQ = d . OA.
Dunque calcolo prima la diagonale (OO) e poi il segmento OA. In pratica:
OO = (Q3 x 1,41421356 ) = 4,24264068 x 1,41421356 = 5,99999997 98636208.Quindi:
OA = (Q3 / 1,41421356 ) = 4,24264068 / 1,41421356 = 3.Incominciamo ad abituarci a questi numeri, quindi abbiamo già notato che la diagonale è un numero definito in simmetria sia nella scelta della lunghezza dei decimali (sono sempre il doppio di quelli della radice otto + otto) che nelle proporzioni, mentre OA è un intero. Comunque non rimane che scoprire se è vero che la diagonale è un numero proporzionato alla superficie. Cosicché sarà certo che, anche questo, è un quadrato razionale in perfetta sintonia con numeri e geometria. Per ciò:
SuperficieQ = d . OA = 5,9999999798636208 x 3 = 17,99999993 95908624.Il risultato, non solo, conferma che non esistono più quelle interminabili “code” ma che anche i lineari sono del tutto corrispondenti con la superficie.
Conosco già la diagonale di Q3 quindi è abbastanza semplice calcolare il perimetro P:
P = 5,99999997 98636208 x 2 = 11,99999995 97272416.E con P produco la superficie Q. Cioè:
SuperficieQ = (11,99999995 97272416 / 2,82842712)² = 4,24264068² = 17,99999993 95908624.Capisco che la stanchezza e soprattutto la fatica ad assimilare tante informazioni “sconosciute” ma l’argomento è sempre più intrigante e il “bello” deve ancora venire.
Gnomone
Quella dello gnomone, mi sembra una buona occasione per fare vedere come tra due quadrati ci sono sempre altri numeri mezzani. Perciò, si osserva che:
Q2² = 1,272792204² = 1,61999999 4563177616.Dunque, Q2² è un quadrato che occupa la parte interna di un quadrato più grande (Q1² = 1,41421356²). Allora, si capisce che tra questi quadrati intercorre lo gnomone (in rosso). In questo caso, si tratta di una particella (P) suddivisa in tre parti che completa una unità. Dunque, per verificare, la calcolo. In merito, so già che il lato di tre particelle è uguale a; 0,424264068 x 3 =1,272792204, mentre il lato del riquadro R = 1,41421356 / 10 = 0,141421356. E con questi calcolo lo gnomone = G:
F = 1,272792204 x 0,141421356 = 0,179999999395908624.
R = 0,141421356² = 0,019999999932878736.Cosicché, G = 2F + R:
0,179999999395908624 +
0,179999999395908624
0,019999999932878736 =
0,379999998724695984Quindi, Q1² = G + Q2² :
0,379999998724695984 +
1,619999994563177616 =
1,999999993287873600che corrisponde con:
Q1² = 1,41421356² = 1,99999999 3287873600.La circonferenza del cerchio razionale con 8,88888888
Tutti gli elementi sono in proporzione
Tutti gli elementi sono in proporzione
Dopo aver aperto la porta alla gestione dell’incommensurabilità dei numeri e presentata la ripartizione del quadrato, ora, per costruire un cerchio, oltre al pi greco, voglio inserire un elemento o una costante intermedia. Nella formula classica si usa il pi greco irrazionale, ma qui posso usare anche altri numeri per metterli a confronto. Ad esempio, per calcolare la circonferenza ho già usato 8,88888888 in combinazione con OA = raggio = 1,41421356 / 2 = 0,70710678. L’idea è di confrontare questa tecnica con la formula classica per calcolare la circonferenza (2πr) per capire meglio il rapporto che le collega e individuare gli elementi essenziali per calcolare una circonferenza razionale. Dunque:
C = r x 8,88888888 = 0,70710678 x 8,88888888 = 6,28539359 37146064.
C = 2πr = 6,2853935937146064 x 1 = 6,28539359 37146064.Ciò fatto è chiaro che entrambi hanno la stessa proporzione, tanto che hanno prodotto lo stesso risultato. Questo vuol dire che sia le costanti che i raggi sono in proporzione (perfetta) in entrambe le formule. In pratica, se conosco solo una circonferenza = 0,8888888850168327140942784 allora posso calcolare i raggi di entrambe le circonferenze r1 e r2:
r1 = C / 8,88888888 = 0,8888888850168327140942784 / 8,88888888 = 0,09999999966439368.
r2 = C / 2π = 0,8888888850168327140942784 / 6,2853935937146064 = 0,141421356.Ora guardo come sono composte le costanti:
2π = (OA x 8) x 1,11111111 = (0,70710678 x 8) x 1,11111111 =
2π = 5,65685424 x 1,11111111 = 6,2853935937146064.Quindi:
6,2853935937146064 / 0,70710678 = 8,88888888.Inoltre, osservo che queste costanti sono in proporzione con il segmento AX. Dunque:
AX = OX - OA = 1 - 0,70710678 = 0,29289322.E poi li metto in relazione:
x = 8,88888888 x 0,29289322 = 2,60349528862853936Dunque li sommo:
6,2853935937146064 +
2,6034952862853936 =
8,888888888,88888888 è una costante proporzionale definita, ottenuta regolando l’infinito con il Parimpari. Fa lo stesso lavoro di 2π, ma senza ricorrere a numeri infiniti. È la prova che numeri e geometria possono essere perfettamente proporzionati, cioè senza approssimazioni.
Analisi del π intero e definito in rapporto con il cerchio razionale
Il cerchio razionale non è solo un’idea
Il cerchio razionale non è solo un’idea
Ho già usato 1,11111111 per calcolare il pi greco definito in questo caso per calcolare l’area di un cerchio razionale dividerò P1 per 0,9. In pratica:
πintero = 2,82842712 / 0,9 = 3,14269680.So bene che lo zero finale non si scrive. In questo caso però è utile per segnalare che il numero riflette la scelta di otto decimali. Quello che è più importante osservare invece è che 3,14269680 non ha un arrotondamento “per eccesso o per difetto”, ma è il prodotto esatto di un rapporto tra dividendo e divisore. Tanto che, mettendoli in relazione, posso evidenziare quale è la posizione del decimale frazionato detto con i numeri:
Lunghezza = 3,14269679 68573032 / 3,14269680 = 0,999999999Si nota che, in questo caso, il quoziente ha nove decimali (8 + 1), il che significa che il divisore occupa la posizione successiva, rispetto al dividendo. Quindi, per differenza produco il parimpari appropriato. Cioè:
Parimpari = 1 - 0,999999999 = 0,000000001Prodotta la giusta posizione, la uso per calcolare l’ultima parte del π intero:
Ultima parte = 3,14269680 x 0,000000001 = 0,0000000031426968.Ciò fatto, per scoprire la differenza tra il pi greco intero e quello definito (3,14269680 e 3,14269679 68573032) aggiungo il risultato 0,0000000031426968 al pi greco definito (secondo Assioma). Cioè:
3,14269679 68573032 +
0,00000000 31426968 =
3,14269680 00000000In pratica, si capisce che al π definito = 3,14269679 68573032, manca ancora una parte per completare l’ottavo decimale a intero. Una piccola parte che fa la differenza tra definito e infinito. Voglio dire:
Periodico infinito = 3,14269680 / 1,41421356 = 2,222…
Periodico definito = 3,14269679 68573032 / 1,41421356 = 2,2222222.Nonostante la forma “irrazionale”, addenti e somma, sono razionali. Per dire che non soffrono più di approssimazioni. Su questo puoi leggere: frazione di un numero decimale intero.
Il periodico nove nella gestione numerica dell’infinito
Fatta la conoscenza del pi greco definito e intero, oltre che del resto di uno (1 – 0,00000001 = 0,99999999), ho abbastanza conoscenze per produrre un percorso più pratico per togliere o aggiungere l’ultima parte. Perciò, sia n = 12:
n = 12 x 0,99999999 = 11,99999988In pratica ho tolto l’ultima parte da n:
Ultima parte = 12 x 0,00000001 = 0,00000012
n = 11,99999988 + 0,00000012 = 12Quindi è vero il contrario:
n = 11,99999988 / 0,99999999 = 12Fatto un esempio con un numero naturale, torno ai numeri mezzani e ripeto :
πdefinito = 3,1426968 x 0,99999999 = 3,14269676 85730320E poi:
πintero = 3,14269676 8573032 / 0,99999999 = 3,1426968Ciò fatto, parto dal pi greco definito per produrre un altro periodico definito Q4 = 4,44444444. In numeri:
Q4 = 3,142696768573032 / 0,70710678 = 4,44444444Si tratta di un periodico che è stato costruito su una costante quindi ne mantiene le proporzioni.
Elementi del quadrato in relazione con 4,44444444
La diagonale XY è uguale al segmento OA del lato del quadrato circoscritto.
La diagonale XY è uguale al segmento OA del lato del quadrato circoscritto.
Dopo il cerchio, torno alla regolarità del quadrato e cerco una corrispondenza tra il periodico Q4 e la superficie quadrata razionale. In questo caso però la proporzione non sarà più con il pi greco ma con il perimetro del quadrato costruito sul segmento OA di un lato unitario. Perciò:
P1 = (OA x 4) x 0,99999999 =
P1 = 2,82842712 x 0,99999999 = 2,8284270917157288Quindi costruisco, in forma definita, un decimo del segmento OA di nove. Nella forma infinita sarebbe stato:
OA = 9 / 14,1421356 = 0,6363961…Invece, in forma di frazione intera:
OA = 1,41421356 / 10 x 4,5 = 0,636396102Ciò fatto li metto in relazione:
Q4 = 2,8284270917157288 / 0,636396102 = 4,44444444Ora che sono certo che la relazione è proporzionata al periodico Q4, voglio provare la corrispondenza geometrica tra il perimetro circoscritto e quello inscritto e per farlo coinvolgo anche la superficie Q. Per il momento cambio tecnica e userò le particelle. Pertanto, sia il lato del quadrato = 1,41421356 x 3 = 4,24264068, la diagonale di una particella risulta uguale a:
d = 0,424264068 x 1,41421356 = 0,59999999798636208E poi calcolo il perimetro inscritto = P. Cioè:
P = d x 20 = 0,59999999798636208 x 20 = 11,9999999597272416Dunque:
SuperficieQ = (P / P1)²
SuperficieQ = (11,9999999597272416 / 2,82842712)² = 4,24264068² = 17,9999999395908624.Si osserva che la superficie del quadrato inscritto divisa per quello inscritto (P1) ha restituito la radice del quadrato inscritto.
Progressione geometrica del cerchio in ragione due e 1,41421356
Come detto in premessa, ora ci sono le basi per descrivere la crescita “integrata” dei numeri. In altre parole, la figura del cerchio razionale si affianca a quella del quadrato nella progressione geometrica: an = a1 qn-1 . Dunque, in generale, ha le stesse regole.
L’idea è quella di posizionare la circonferenza del cerchio razionale lungo la retta di crescita z. In più, su questa stessa retta, farò coesistere in continuità complementare più progressioni geometriche: la prima con ragione q = 2, dove il termine iniziale (a1 = 1,414213 ) è in proporzione al raggio (r) della circonferenza razionale (C). Raggiuto un punto tale che termine iniziale e raggio saranno uguali, farò seguire la progressione geometrica con ragione q = 1,41421356.
Quindi per tutta la progressione, quadrati e cerchi razionali, avranno un punto regolare sulla retta Z. Ciò detto:
C1 = 2πr/16 = 6,2853936 x 0,277777776845538 = 0,5555555 53691076
C2 = 2πr/8 = 6,2853936 x 0,176776695 = 1,1111111 07382152
C3 = 2πr/4 = 6,2853936 x 0,35355339 = 2,2222222 14764304
C4 = 2πr/2 = 6,2853936 x 0,70710678 = 4,4444444 29528608
C5 = 2πr=K = 6,2853936 x 1,41421356 = 8,8888888 59057216 Cerchio razionale
In questa parte, il raggio è stato regolato con una successione di ragione due (2,4,8…) fino a raggiungere il fattore di scala 1,41421356 che corrisponde: al raggio della circonferenza C5, al termine iniziale a1 e sarà anche la prossima ragione q. Per dire che sulla stessa retta possono coesistere diverse progressioni e mantenere la costante regolarità del quadrato sulla retta z. Cosicché, sono entrato in un’altra progressione geometrica dove il raggio è una potenza con la quale calcolo ancora una circonferenza. In pratica:
C6 = 2πK² = 6,2853936 x 1,41421356² =
C6 = 2πK² = 6,2853936 x 1,99999999 32878736 =12,57078715781164368304896Ora mi soffermo per osservare che, in questo caso, la proliferazione decimale di un numero sia esso un quadrato o un cerchio razionale non è infinita ma esponenziale. In questo caso i decimali sono: x= 7+8 x 2=23.
Proliferazione esponenziale dei decimali di un numero razionale
Perciò, vale la pena ricordare che la somma delle cifre decimali dei due fattori è uguale alle cifre decimali del prodotto. Per esempio se, per calcolare una circonferenza razionale, moltiplico due fattori con quindici e otto decimali allora il prodotto avrà ventitré decimali. Detto con i numeri:
C = 6,285393537146064 x 1,41421356 = 8,88888877016832740942784.Dunque se elevo (an) a potenza, i decimali saranno: x = (a *n)+b; mentre se anche b è una potenza (bm) allora x = (b *m)+(a *n). In pratica:
x = 1,41421356² = 1,9999999932878736 = 8 x 2 = 16 decimali.
x = 1,41421356³ = 2,828427110507619828686016 = 8 x 3 = 24 decimali.I decimali della potenza corrispondono a quelli della base moltiplicati per l’esponente. Questo si precisa perché andando avanti, la proliferazione decimale, giungerà a un punto tale che il calcolatore “troncherà” i decimali in base alla propria potenza tecnica. Dunque se calcolo C7 i decimali saranno:
C7 = 2πK3 = 6,2853936 x 1,414213563 =
C7 = 6,2853936 x 2,828427110507619828686016 =
C7 = 17,777777658451086422456181375898In questo caso il calcolatore ha arrotondato per eccesso le ultime due cifre, cosicché i decimali utili sono trenta. In realtà, se moltiplico il secondo fattore per le posizioni del primo fattore (6; 0,2; 0,08; 0,005; 0,0003; 0,00009; 0,000003; 0,0000006) allora produco gli addenti per esteso. E poi:
16,970562663045718972116096 +
0,5656854221015239657372032
0,22627416884060958629488128
0,01414213555253809914343008
0,0008485281331522859486058048
0,00025455843994568578458174144
0,000008485281331522859486058048
0,0000016970562663045718972116096 =
17,7777776584510864224561813758976Quindi i decimali sono trentuno (x = 8 × 3 + 7 = 31). Proseguendo nella progressione, il limite meccanico dei decimali potrebbe far sembrare che il risultato sia un numero infinito, ma non è così. Si tratta infatti di una moltiplicazione, ovvero di un’operazione logica con un inizio e una fine ben definiti, che può essere tradotta in un’addizione. In breve, anche se il calcolatore mostra una chiusura, questa non va confusa con quella di una frazione infinita (√2 = 1,414…, 1/9 = 0,111…).
Progressione geometrica del cerchio razionale in ragione K
Ciò detto, continuo con la progressione geometrica in ragione K
C8 = 2πrK4 = 6,2853936 x 1,414213564 =25,1415742312465750…(39)
C9 = 2πrK5 = 6,2853936 x 1,414213565 =35,5555551975754820…(47)Come volevo mostrare, anche se il numero non è scritto per esteso, resta comunque un numero razionale ben definito. Il numero tra parentesi indica i decimali effettivi.
Analisi della progressione mezzana dei cerchi razionali con frazione decimale intera e definita
Presento una progressione mezzana con due linee numeriche differenti: la prima con una frazione decimale intera e la seconda con una frazione decimale definita. Le due linee si alterneranno, facendo sì che la ragione q vari tra due e K intero. Di conseguenza, anche il doppio pi greco passerà da definito a intero. In pratica:
C5=2πdefinito /(K/2)=6,2853935 37146064/0,70710678= 8,8888888
C6=2πintero x(2*0,99999999)=6,2853936x1,99999998= 12,570787074292128
C7=2πdefinito /(K/4)=6,2853935 37146064/0,35355339= 17,7777776
C8=2πintero x(4*0,99999999)=6,2853936x3,99999996= 25,141574148584256
C9=2πdefinito /(K/8)=6,2853935 37146064/0,176776695= 35,5555552
C10=2πintero x(8*0,99999999)=6,2853936x7,99999992= 50,283148297168512Verifico le ragioni:
q = C7 /C5; C9 /C7 = 2.
q = C8 /C6; C10 /C8 = 2.
q = C6 /C5; C8 /C7; C10 /C9; = 1,41421356.Mentre le altre combinazioni, tra numeri delle diverse linee, non hanno una ragione propria. In in altre parole, si conferma che non possono avere un punto di sovrapposizione intero. Cioè:
q = C7 / C6;= C9 / C8;= 1,414…
la successione mostra come tra due cerchi razionali con frazione decimale intera c’è sempre un cerchio razionale mezzano con frazione decimale definita (cioè, con frazione dell’ultimo decimale definita).
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