Tetracontagono la figura del numero di Eulero
Per studiare il numero di Eulero, è indispensabile considerare un disegno geometrico basato su valori propri del numero e. E con il numero e la formula di Eulero (o di Nepero), ho già sviluppato i numeri propri w1 e w2, che per non distrarre la continuità di lettura li ripropongo:
w1 = 9,6489403349115346466791780543931; w2 = 0,76578938644648547885043495348298.
In questo contesto, w1 è il lato maggiore e la perpendicolare centrale del quadrato circoscritto, mentre w2 è un lato del tetracontagono. È chiaro che anche il cerchio è compreso nel quadrato. Tanto che, in questa figura, la peculiarità dell’apotema è quella di essere in posizione perpendicolare con il punto mediano del lato e il centro del tetracontagono. Ciò vuol dire che l’apotema è uguale sia al lato di un quadrante che al raggio. Inoltre, quando due rette w1 sono in perpendicolare con gli estremi di due lati w2 opposti, si forma un rettangolo tale che:
e² = (w1 x w2 ) = 9,64894033… x 0,76578938… = 7,38905609…
Come si può intuire, queste relazioni si applicano a diverse figure o elementi geometrici, che rimangono comunque legati al numero di Eulero.
Tetracontagono tetracontagono di Eulero
Il tetracontagono, (dal greco: “tetraconta-” = quaranta e “-gono” = angoli o lati, per estensione) è un poligono regolare di quaranta lati. Questa è una figura molto affascinante che riflette il numero di Eulero nelle sue espressioni geometriche e aritmetiche. In più, introduce concetti che si prestano a nuove analisi attraverso diversi elementi geometrici, ancora da approfondire. Per esempio, le rette perpendicolari ai vertici del lato w2 producono un elemento bidimensionale all’interno di un altro elemento quadratico (superficie del quadrato), questa peculiarità apre prospettive di sviluppo interessanti, come quello di nucleo che si aggiunge a quello di centro, mentre se limito la perpendicolare solo al centro del latto allora avrò un elemento lineare. È bene dire che le diverse associazione, anche se inscritte nello stesso tetracontagono avranno risvolti differenti.
w3 numero di Eulero tetracontagono di Eulero
Chiarito dunque che il tetracontagono non è una scelta arbitraria di chi scrive ma è determinata, in modo naturale, dal numero di Eulero. tetracontagono di Eulero
Fatta la presentazione della figura di riferimento, per ora preferisco escludere dai calcoli il Pi greco. Come vedremo, è un’ottima occasione per esplorare percorsi diversi, molto più semplici e precisi.
Prima di iniziare i calcoli mi ricordo che di base, per ora, ho già tre numeri significativi:
1;e = 2.7182818284590452353602874713527;w = 0,28171817154095476463971252864734.
Con questi ho già ottenuto: w1 e w2 (su questo puoi consultare la formula di Eulero). In più, ora, aggiungo un nuovo numero, proporzionato sia al numero di Eulero che al numero uno, per questo posso classificarlo come un numero w. In sostanza:
w3 = (1 / w)² / 10 = w3 = (1 / 0,28171817154095476463971252864734)² /10 = w3 = (3,5496467783038448822263926847977)² / 10 = w3 = 12,599992250722865298505730232765 / 10 = 1,2599992250722865298505730232765.
Oppure in altro modo:
w3 = 4w1 / 40w2 = 4 x 9,64894033… / 40 x 0,76578938… = 1,2599992250722865298505730232765; w3 = (w1 / w2) / 10 = 12,599992250722865298505730232765 / 10 = 1,2599992250722865298505730232765; w3 = 1 / 0,79365128176378815068702632459033 = 1,2599992250722865298505730232765.
E ancora in particelle:
w3 = 324 / 257,14301529146736082259652916727 = 1,2599992250722865298505730232765.In questo caso, ho diviso le particelle del quadrato per quelle del tetracontagono. Come vedremo, questo numero è una costante molto utile per calcolare, da ogni quadrato, il proprio tetracontagono (o viceversa) .
In attesa di vederlo in azione, per semplicità lo presenterò con una forma limitata a otto decimali, Cioè:
w3 = 1,25999922…
Questo per rendere più agevole la lettura dei numeri.
Superficie e perimetro tetracontagono di Eulero
Presentata la figura del tetracontagono e inserito w3, calcolerò i perimetri e le aree sia del quadrato che del tetracontagono e, per completezza, anche quelli del cerchio. Poiché i calcoli sono abbastanza semplici, manterrò incognito il lato del tetracontagono (w2), che userò solo per confrontare i risultati. Mi limiterò quindi a usare w1 e w3, cioè lato del quadrato e numero fisso.
Questa procedura è di particolare utilità perché mi permette di fare tutti i calcoli solo con la conoscenza del lato. Ciò detto, inizio i calcoli con il perimetro del quadrato circoscritto = Pc:
Pc = w1 x 4 = 9,64894033… x 4 = 38,59576133…
E poi, calcolo il perimetro del tetracontagono (Pt) e per farlo uso w3 . Inoltre, per il momento, evito di usare anche la trigonometria. Cioè:
Pt = Pc / w3 = 38,59576133… / 1,25999922… = 30,63157545…
Calcolato il perimetro del tetracontagono, preparo un confronto con il metodo tradizionale. Cioè:
Pt = w2 x 40 = 0,76578938… = 30,63157545…
Dato che il confronto è andato bene, procedo con la superficie del quadrato = Ac e e poi l’area del tetracontangono = At. In pratica:
Ac = w1² = 9,64894033…² = 93,10204958…
E poi:
At = w1² / w3 = 93,10204958…/ 1,25999922… = 73,89056098 …
Ora, preparo il confronto con un percorso già noto. A tal fine, osservo che i lati obliqui del triangolo isoscele BDF = T sono congruenti con le diagonali del rettangolo (w1 x w2). Perciò, su questa base, determino l’area del triangolo isoscele. Cioè:
T = e² / 4 = 2,7182818 / 4 = 7,38905609… / 4 = 1,84726402…
Cosicché, il tetracontagono sarà:
At = T x 40 = 1,84726402… x 40 = 73,89056098…È chiaro che si può semplificare. Cioè:
At = e² x 10 = 73,89056098930650227230427460575.Il confronto conferma w3 anche per l’area At = 73,89056098… Per cui, non rimane che verificare con il cerchio.
Calcolo anche il cerchio tetracontangono di Eulero
Tetracontagono la figura del numero di Eulero
Ho accennato al cerchio perché, come il tetracontagono, è incluso nella figura di Eulero e, in vero, ho già presentato questa tecnica con il calcolo dell’aria del cerchio senza Pi greco. Sta di fatto che è una figura inclusa nel quadrato, quindi la calcolo, pure, con la sola conoscenza del lato del quadrato. In tal senso, conosco già la superficie del quadrato circoscritto quindi sia l’area del cerchio = A. E poi:
A = Ac / Ka = 93,10204958… / 1,272792206… = 73,147878450121727042645181593374.E ciò vale anche per la circonferenza:
C = Pc / Ka = 38,59576133… / 1,272792206… = 30,323693964801524961566608065251.Che è uguale a:
πr² = 3,142696805… x 4,82447016²… = 73,14787845…
2πr = 6,28539361… x 4,82447016… = 30,32369396…È bene dire che per i calcoli sul cerchio, ho usato il Pi greco naturale = 3,1426968052735445528926416093549. Un Pi greco diverso non può produrre questa precisione.
Per dire che questa tecnica, è molto importante sia per l’economia dei calcoli che per la semplicità di soluzione.
Apotema
Ciò fatto, uso un altro modo già noto per calcolare A. Dunque, moltiplico il perimetro del poligono per metà lato di un quadrante. Detto in numeri:
A = 30,63157545… x (w1 / 4) = 30,63157545 x 2,41223508… = 73,89056098…
Anche in questo caso si ottiene lo stesso risultato ma con più elementi. La differenza di questa costruzione, rispetto a quella tradizionale, sta nel fatto che un quarto del lato w1 sostituisce l’apotema. Questa impostazione permette la formazione del nucleo. Infatti se osservo la figura, noto che il punto zero della gradazione si trova 4,5° prima del punto centrale del lato ovvero sul primo vertice w1. Cosicché nessuna retta potrà passare per il centro del quadrato. Si tratta di un argomento complesso che potrà essere approfondito con il nucleo.
Per ora, torno a usare un altro numero fisso e produco il lato. Cioè: tetracontagono di Eulero
w1 = Pt / 3,17460512… = 30,63157545… / 3,17460512… = 9,64894033…
È bene chiarire che il numero fisso 3,17460512… è uguale al tetracontagono del perimetro di un quadrato uno (4).
t = 4 / 1,259999225… = 3,1746051270551526027481052983608.
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