Rotazione e ipotenusa
Con “Ipotenusa e teorema di Pitagora“, ho già introdotto la rotazione, bidirezionale, di una ipotenusa basata sulle particelle di un quadrato. Un percorso diverso ma che, alla fine, riproduce le stesse aree del teorema di Pitagora. Ora, riprendo il discorso, da dove ero rimasto, e continuo il concetto di rotazione solo con le particelle tale che, oltre al perimetro esterno, ogni punto della superficie quadrata sarà raggiungibile dall’ipotenusa. Per dire che oltre al senso orario e antiorario posso andare anche dall’alto verso il basso e viceversa.
Vado per gradi quindi, per prima cosa, torno a parlare del perimetro espresso in particelle. Per dire che dopo il perimetro circoscritto, se osservo bene la figura, ci sono ancora altri otto perimetri da presentare senza contare quelli in posizione diagonale. Tale che, si completeranno tutte le unità da zero a nove. Cioè, ogni perimetro corrisponde a una unità numerica. Questo vuol dire che se voglio una ipotenusa che parte da zero e si ferma sul perimetro otto allora devo ridurre le particelle adiacenti al lato di un settore da nove a otto.
Rotazione e regressione dell’ipotenusa
Ho ridotto di una unità il lato di un settore dunque per la rotazione dell’ipotenusa, in seguito, tutti gli elementi saranno proporzionati alla particelle di un settore (otto). Per dire che, un quadrante sarà composto da sessantaquattro particelle, per un totale di duecentocinquantasei particelle (64 x 4 = 256). Cosicché, le particelle di un quadrante sono quelle che formeranno la parte fissa che corrisponde al lato di un settore intero (o cateto). Invece, il secondo cateto varia in base al numero di particelle dell’ampiezza = n = α. In questo caso, valuto una rotazione intera, dunque è un numero reale compreso tra n => 0 <= 256. É anche vero che se il secondo cateto raggiugerà le sessantaquattro particelle allora avrò una diagonale. Per esempio, con OX = 1:
OB = ((√64 + 64) / 9) x OX = OB = ((√128) / 9) x 1 = (11,313708498984760390413509793678 / 9) x 1 = OB = 1,257078722109417821157056643742 x 1 = 1,257078722109417821157056643742
Che corrisponde con:
OB = 0,15713484… x 8 = 1,257078722109417821157056643742.
Cioè, la diagonale di una particella per otto.
Considerato che la rotazione è speculare, questo vuol dire che anche negli altri settori la diagonale sarà raggiunta con centoventotto particelle. È chiaro che tutto ciò vale anche per le ipotenuse e i lati dei settori. In pratica, per produrre il lato di un settore, sono necessari sessantaquattro particelle. Per esempio, se il lato del perimetro circoscritto è uguale a uno, allora:
OX = (√64 / 9) x 1 = (8 / 9) x 1 = 0,8…89.
Diagonale opposta
Calcolata la prima ipotenusa ( o diagonale) e il lato del perimetro otto. Ora, voglio calcolare anche quella opposta (OE) e mostrare, con i numeri, che è speculare a OB. Inoltre, il calcolo è utile per introdurre la bi-ipotenusa. Quindi, per facilitare il concetto speculare associato a quello di posizione, è bene precisare che il quinto settore si estende da centoventotto a centosessanta particelle. Infatti, le particelle di un settore moltiplicate per quattro producono le particelle che precedono il quinto settore (32 x 4 = 128), invece se moltiplico per cinque ottengo quello del quinto settore (α = 32 x 5 = 160). Ciò detto, per i calcoli continuo con le frazioni del perimetro. Dunque, se voglio calcolare la retta opposta a OB per prima cosa calcolo le particelle adiacenti al quinto settore. Cioè, dal punto A a E.
So già che il quinto settore ha centosessanta particelle, Dunque:
p = α / 4 = 160 / 4 = 40.
In questo caso, quattro corrisponde a metà delle particelle adiacenti al lato di un settore (8 / 2 = 4). Poi, se al quoziente tolgo le particelle adiacenti ai settori precedenti, allora ciò che rimane sono le particelle del quinto settore. Cioè:
p = 40 - (8 x 4) = 8.
Ciò fatto, le elevo al quadrato e produco le particelle del secondo cateto:
p² = 8² = 64.
Quindi calcolo la diagonale OE. Cioè:
OE = ((√64 + 64) / 9) x 1 = OE = ((√128) / 9) x 1 = (11,313708498984760390413509793678 / 9) x 1 = OE = 1,257078722109417821157056643742 x 1 = 1,257078722109417821157056643742.
Come si può vedere, la misura non è cambiata. E non poteva che essere così dato che le particelle, sotto radice, sono sempre uguali a quelle del settore opposto. Come detto questo vale per tutti i i settori. Insomma, ci risiamo a = b. Cambia solo la posizione.
bi-ipotenusa e rotazione
Chiarito il concetto di cui stiamo discutendo, posso affermare che la bi-ipotenusa, è la somma di due ipotenuse che sovrappongono un estremo sul punto O. Dunque, in questo esempio di rotazione, mi limiterò a doppiare il prodotto. Cosicché, posso presentare la prima bi-ipotenusa:
EB = OB x 2 = EB = 1,257078722109417821157056643742 x 2 = 2,5141574442188356423141132874839.
Che corrisponde con:
EB = 0,15713484026367722764463208046774 x 16 = EB = 2,5141574442188356423141132874839.
Come detto, la diagonale è una costante dunque lo sono anche le sue frazioni e questo vale anche per le ipotenuse. Infatti, la bi-ipotenusa può comporsi anche con due ipotenuse opposte che appartengono a due quadrati diversi. Per fare un esempio, l’ipotenusa W del perimetro nove può essere sommata a quella opposta del perimetro otto. Per esempio so già che OW =1,1180339887498948482045868343656. Dunque, calcolo solo quella del settore opposto del perimetro otto e poi le sommo. Vale a dire;
OW₁= √80 / 9 x 1 = 8,9442719099991587856366946749251 / 9 = OW₁= 0,99380798999990653173741051943612.
Dunque la bi-ipotenusa W è uguale a:
Wₙ = OW + OW₁ = 1,1180339887498948482045868343656 + 0,99380798999990653173741051943612 = Wₙ = 2,1118419787498013799419973538017.
Che corrisponde con:
Wₙ = 0,12422599874998831646717631492951 x 17 = 2,1118419787498013799419973538017.
Come è stato per la diagonale, anche in questo caso, ho moltiplicato l’ipotenusa di una particella che si trova sulla stessa linea di W, per diciassette particelle (OW = 9 + OW₁ = 8).
Rotazione delle bi-ipotenuse
Per dare una posizione alle bi-ipotenuse tengo fermo il punto W dei settori ancorati al punto O. Dunque divido per due un settore (8 / 2 = 4). E poi, effettuerò una rotazione completa in modo che, oltre alla posizione, mi aiutino a esporre come le particelle del secondo cateto sono uguali in tutti i settori. Cioè:
p = (16 / 4)² = 4² = 16 p = ((48 / 4) - 8)² = 4² = 16 p = ((80 / 4) - 16)² = 4² = 16 p = ((112 / 4) - 24)² = 4² = 16 p = ((144 / 4) - 32)² = 4² = 16 p = ((176 / 4) - 40)² = 4² = 16 p = ((208 / 4) - 48)² = 4² = 16 p = ((240 / 4) - 56)² = 4² = 16.
Come si può vedere, per ogni settore aggiunto, al minuendo aggiungo otto particelle. Tale che il risultato è sempre sedici che sommate a sessantaquattro producono le particelle della retta W. Cosicché la bi-ipotenusa è:
Wₙ = OW x 2 = 1,9876159799998130634748210388722.
Come detto α è la sola variabile in un contesto fisso. Per dire che, per formare una bi-ipotenusa, posso sommare due ipotenuse W (o frazione) anche se non sono opposte. Per esempio se sommo due ipotenuse non opposte allora la bi-ipotenusa sarà:
Wₙ = W₁ + W₂.
La condizione è che devono avere il punto O in comune.
Ora pongo il caso in cui voglio conoscere le particelle di una ipotenusa. In pratica:
P = W₁² / (1/9)² = 0,98765432098765432098765432098765 / 0,0123456790…= 80.
Perimetri incentrati e rotazione
É bene continuare con la regressione delle ipotenuse anche se può sembrare ripetitivo. Perciò, per non stancarvi troppo, anche per i restanti perimetri, produrrò solo W.
Il perimetro sette racchiude centonovantasei particelle (7² x 4) e se le divido per metà delle particelle del lato di un quadrante (7 / 2 = 3,5) allora produco quelle adiacenti al perimetro. Cioè:
p = α / 3,5 = 196 / 3,5 = 56.
So già che per rimanere sulla retta W l’ampiezza è un quarto delle particelle del quadrante, quindi:
α = 49 / 4 = 12,25.
Dunque, anche gli altri settori :
p = (12,25 / 3,5)² = 3,5² = 12,25 p = ((36,75 / 3,5) - 7)² = 3,5² = 12,25 p = ((61,25 / 3,5) - 14)² = 3,5² = 12,25 p = ((85,75 / 3,5) - 21)² = 3,5² = 12,25 p = ((110,25 / 3,5) - 28)² = 3,5² = 12,25 p = ((134,75 / 3,5) - 35)² = 3,5² = 12,25 p = ((159,25 / 3,5) - 42)² = 3,5² = 12,25 p = ((183,75 / 3,5) - 49)² = 3,5² = 12,25.
Ciò fatto, calcolo W:
W = (√49 + 12,25) / 9) x OX =
W = (√61,25 / 9) x 1 = (7,8262379212492639374321078405595 / 9) x 1 = 0,86958199124991821527023420450661.Continuo, e tolgo una particella al settore del perimetro sette. quindi:
α = 6² = 36 / 4 = 9.
E poi:
W = (√36 + 9) / 9) x OX =
W = (√45 / 9) x 1 = (6,7082039324993690892275210061938 / 9) x 1 = 0,74535599249992989880305788957709.Perimetro cinque e Pi greco naturale
Come detto, per questi i perimetri, tengo ferma la proporzione di un quarto con la retta W quindi divido le particelle di un quadrante per quattro:
α = 25 / 4 = 6,25.
E poi;
W = (√25 + 6,25) / 9) x OX =
W = (√31,25 / 9) x 1 = (5,5901699437494742410229341718282 / 9) x 1 = 0,62112999374994158233588157464758.Fatta la regressione per la rotazione di questa ipotenusa. Adesso, anche se fuori tema, in questo caso voglio inserire anche il quadrato che ha per perimetro il Pi greco naturale. Cioè:
π = (0,15713484026367722764463208046774 x 20) = 3,1426968052735445528926416093549.
Per il calcolo ho moltiplicato la diagonale di una particella per quelle adiacenti al perimetro inscritto (rombico). Cioè del quadrato che ha per lato la diagonale di un quadrante del perimetro cinque. So già che questo quadrato ha la metà delle particelle del perimetro cinque (25 x 4). Perciò:
p = 50 / 2,5 = 20.
E ciò mostra che il Pi greco naturale non è solo un prodotto aritmetico ma è anche un elemento geometrico preciso. Ciò detto, chiudo subito e, torno in tema con il perimetro quattro e alla sua ipotenusa
Rotazione del perimetro quattro, tre e due
Il quadrante del perimetro quattro ha sedici particelle (4 x 4) quindi, in ragione di un quarto, il secondo cateto sarà:
α = 4² = 16 / 4 = 4.
Dunque:
W = (√16 + 4) / 9) x OX =
W = (√20 / 9) x 1 = (4,4721359549995793928183473374626 / 9) x 1 = 0,49690399499995326586870525971806.Scendo ancora di una particelle e entro nella rotazione del perimetro tre:
α = 3² = 9 / 4 = 2,25.
E poi:
W = (√9 + 2,25) / 9) x OX =
W = (√11,25 / 9) x 1 = (3,3541019662496845446137605030969 / 9) x 1 = 0,37267799624996494940152894478855.
Il perimetro due ha quattro particelle, perciò il quadrante è uno (4 / 4 = 1). Ciò vuol dire che al primo cateto (uno) devo sommare una frazione di uno (secondo cateto), cosicché:α = 1 / 4 = 0,25.Mentre l’ipotenusa è:
W = (√1 + 0,25) / 9) x OX = W = (√1,25 / 9) x 1 = (1,1180339887498948482045868343656 / 9) x 1 = 0,12422599874998831646717631492952.Prima ho usato questo numero per frazionare una bi-ipotenusa ma ora è più chiara la sua origine. Per dire che è utile per frazionare tutte le ipotenuse che sono in linea con il rapporto di un quarto. Mentre se cambio la linea del rapporto varia anche il numero. E per fare un esempio torno alla diagonale = OB.
Come si può vedere il primo cateto è composto da una particella più una frazione. Mentre se anche il secondo è un intero vuol dire che sono in linea con il rapporto di uno a uno quindi:
OB = (√1 + 1) / 9) x OX = Y = (√2 / 9) x 1 = (1,4142135623730950488016887242097 / 9) x 1 = 0,15713484026367722764463208046774.Come vedremo questa procedura, in qualche modo, mi collegherà alla formula di Eulero.
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