“e” la formula di Eulero
Il numero di Eulero, noto anche come numero di Nepero, è una costante matematica molto importante con applicazioni in varie discipline. In più, presenta similitudini con il Pi greco dato che è considerato un numero irrazionale e trascendente. E per ciò che mi riguarda, aggiungo che sono due numeri addizionati. Cioè, sia il Pi greco che il numero “e“, sono la somma di due numeri.
In didattica si afferma che un numero irrazionale è un numero reale che non può essere espresso come una frazione a / b, dove a e b sono interi e b non è zero. Tuttavia, in questa circostanza, per generare il numero di Eulero si divide uno per n dove n è un numero reale. Cioè, può essere anche un numero intero.
Il numero di Eulero
Lo scopo di questa ricerca è di esplorare “e”. Detto ciò, al di là della formula, non disponiamo di ulteriori informazioni. Per iniziare, in questo contesto, produco la prima cifra di “e“. Cioè:
e = (1 + 1 / n)n = e = (1 + 1 / 1)1 = (1 + 1)1 = 2.
Il risultato dice che la parte intera è due. È chiaro che i numeri frazionari sono interi, così come la loro somma. E ciò, sembra soddisfare la condizione che definisce i numeri irrazionali. Tuttavia, questa è una eccezione dovuta alla neutralità di uno. In pratica, poi con n diverso da uno:
e = (1 + 1 / n)n = e = (1 + 1 / 9)9 = (1 + 0,1…1)9 = 1,1…19 = e = 2,5811747917131971819900315081168.
Come vedremo, per tutte le successive operazioni (a / b) o (1 / n), basta elevare a potenza n e il risultato di questa operazione per ottenere il relativo numero “irrazionale e trascendente”. Insomma, sembra che, la formula è in contraddizione con la definizione.
Comunque sia, nel sistema numerico decimale, il nove è l’unità più grande. Per questo è il limite maggiore per le singole unità, novantanove per le decine e così via. Dunque, si può affermare che n tende a un infinito quindi anche “e“, segue questa tendenza. Per questo, con n = 99:
e = (1 + 1 / n)n = e = (1 + 1 / 99)99 = (1 + 0,1…1)99 = 1,1…199 = e = 2,7046790361647357438082050040453.
Frazione decimale di e
Cosicché, sette è il decimale più grande del numero di Eulero. Compresa la tecnica esporrò i numeri fino al sesto decimale. Per dire che ogni unità di lunghezza ha una posizione specifica. Per esempio, con n = 999; 9.999; 99.999; 999.999; 9.999.999; 99.999.999:
e = 2,7169225742264075150321559109396; e = 2,7181459132349482202572127477235; e = 2,7182682370385767092176487150673; e = 2,7182816925449526797905405478612; e = 2,7182818148676360817388869526743.
È chiaro che se il divisore aumenta allora la frazione aggiunta al numero diventa sempre più piccola; tuttavia, a prescindere dal suo valore , il resto, non potrà mai annullarsi. Questo almeno fino a quando non si stabilisce un limite all’incommensurabilità del numero “irrazionale”.
Il numero di Eulero = 0
Come detto prima, la formula del numero di Eulero sembra contraddire la definizione di numero irrazionale. Dunque, per continuare la discussione, propongo una sottrazione. Cosicché inizio dal terzo Termine Primitivo e, per non farla troppo lunga, limito il numero di Eulero a otto decimali, e = 2,71828182. Conosco anche il secondo e terzo Assioma quindi posso togliere le “cose uguali”, che in questo caso sono date dal periodico: 10 / 9 = 1,11111111. Il periodico uno non è un neutro quindi può scomporre, i numeri intermedi, in sottrazione o comporre in addizione. Con queste premesse:
e = 0 e - ((10 / 9) x 2) - ((1 / 9) x 4) - ((1 / 90) x 4) - ((1 / 900) x 6) - ((1 / 9000) x 4) - ((1 / 90000) x 5) - ((1 / 900000) x 3) - ((1 / 9000000) x 1) = 0
Per adesso, desidero scomporre il numero di Eulero in una forma intera, quindi considero anche le frazioni e i minuendi con la stessa lunghezza:
2,71828182 -
2,22222222 =
0,4960596–Dopo aver tolto la parte intera, abbasso di una posizione il minuendo che diventa 0,1111111 e noto che è contenuto quattro volte nel resto. Per questo:
0,4960596 -
0,4444444 =
0,0516152Senza modificare la tecnica, scendo di un’altra posizione e vedo che il minuendo = 0,0111111, entra, anche in questa circostanza, quattro volte nel resto, quindi:
0,0516152 -
0,0444444 =
0,0071708Procedo e tolgo il relativo minuendo: 0,0011111 che moltiplicato per sei = 0,0066666.
0,0071708 -
0,0066666 =
0,0005042Ora che ho compreso il procedimento di calcolo tolgo solo i minuendi.
0,0005042 -
0,0004444
0,0000555
0,0000033
0,0000010 =
0Il risultato è zero. Per questo, posso dire che l’aritmetica mostra come i numeri “irrazionali e trascendenti” in realtà sono razionali e coerenti con i periodici. In più, è stato compreso dove ha origine l’incommensurabilità di quella che sembra una sequenza “disordinata”.
Il numero di Eulero e = 2,71828182…
Dopo aver scomposto il numero di Eulero, ora desidero ricostruirlo con la parte indefinita. Perciò, ai primi otto decimali ne seguiranno altri otto. Ciò mi giova per mettere in risalto la natura indefinita di e.
Anche per la composizione la base è 1,11111111. E poi, per il secondo fattore, divido “e” per il periodico. In pratica:
2,71828182… / 1,1…1 = 2,446453645…
Dunque:
2 x 1,11111111 = 2,22222222; 0,4 x 1,11111111 = 0,44444444 0,04 x 1,11111111 = 0,044444444 0,006 x 1,11111111 = 0,0066666666 0,0004 x 1,11111111 = 0,00044444444 0,00005 x 1,11111111 = 0,000055555555 0,000003 x 1,11111111 = 0,0000033333333 0,0000006 x 1,11111111 = 0,00000066666666 0,00000004 x 1,11111111 = 0,000000044444444 0,000000005 x 1,11111111 = 0,0000000055555555.
E poi li sommo. Cioè:
2,22222222 + 0,44444444 0,044444444 0,0066666666 0,00044444444 0,000055555555 0,0000033333333 0,00000066666666 0,000000044444444 0,0000000055555555 = 2,7182818205949195
Ricomposti i primi otto decimali del numero di Eulero posso dire che ogni decimale è il prodotto di una addizione e ciò vale anche per la parte che non ha ancora raggiunto il decimale proprio di “e“. In ogni caso, c’è ancora tanto da scoprire su questo numero, a cominciare dalla forma. E poi, per scoprire delle corrispondenze, penso che ci sia anche la possibilità, in un prossimo articolo, di parlare della superficie di “e“.
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