Progressione Geometrica
La progressione geometrica mezzana, in linea di massima, non è diversa dalle altre progressioni.
Piano cartesiano della progressione dei quadrati.
E in argomento, conosco l’area R dello gnomone e il segmento AX, nonché il fatto che la relazione tra lato e diagonale genera una progressione proporzionale sulla semiretta OX. Ora desidero approfondire questa progressione e dimostrare come la diagonale di R corrisponda al successivo segmento AX.
Con la costante K, ho introdotto la variante K13 e il calcolo proporzionale di AX. Quindi, stabilito che OX = 1,414213562:
AX = OX / K13 = 1,414213562 / 3,414213564 5476523533046462636103 =
AX = 0,414213562.Dunque, per differenza, OA = 1.
E in proposito al piano cartesiano, considero la retta X come l’asse delle radici e Y come quella delle aree o superficie mentre Z è la retta che rappresenta la progressione geometrica dei quadrati.
Ciò detto verifico che la diagonale di R, a ogni passo, corrisponde al segmento AX successivo.
Diagonale R
Così che, per la seconda posizione della progressione geometrica, preparo la costruzione che consenta il paragone tra la diagonale di R = d e il secondo segmento AX. Cioè:
d = (𝐴𝑋 . K10) = (0,414213562 . 1,414213562) = 0,585786436 944727844.Dunque:
OX1 = (OA + AX + (d = AX1) = (1 + 0,414213562 + 0,585786436 944727844) = OX1 = 1,999999998 944727844.
Che equivale:
OX1 = (OX . K10) = 1,414213562 . 1,414213562 = 1,999999998 944727844.
Visto il risultato, posso affermare che la diagonale di R corrisponde al secondo segmento AX. E poi, noto che la somma (OA + AX + d) corrisponde a una potenza (K10² = 1,999999998 944727844).
A questo punto, incremento OX1 di un altro segmento AX. E per farlo, so che qualsiasi numero reale moltiplicato per K10 produce il relativo segmento AX. Per ciò:
AX2 = (𝒙 ∗ K10) − 𝒙 = AX2 = OX1 . K10 = (1,999999998 944727844 . 1,414213562) = 2,828427122 507619805383820328. AX2 = 2,828427122 507619805383820328 - 1,999999998 944727844) = 0,828427123 562891961383820328.
Che equivale a:
AX2 = AX1 . K10 = 0,585786436 944727844 . 1,414213562 = 0,828427123 562891961383820328.
Progressione geometrica di OX
Nella progressione geometrica intermedia, il lato OX aumenta di una lunghezza che corrisponde ad AX ad ogni incremento. Cioè:
OX = (OA + AX + AX1 … + AXn)
Quindi:
OX2 = (OA + AX + AX₁ + AX₂) = 1 + 0,414213562 + 0,585786436 944727844 + 0,828427123 562891961383820328 = 2,828427122 507619805383820328.
Di conseguenza:
OX2 = K10³ = 1,414213562³ = 2,828427122 507619805383820328.
Anche in questo caso, i numeri confermano che la diagonale di R corrisponde al terzo incremento AX2. Per ciò, n è il numeratore che raccoglie gli accrescimenti X. E questo è sufficiente per stabilire il termine iniziale, per l’asse X:
a1 = (n / n-1) = (OX2 / OX1)= K10 = 1,414213562.
Inoltre, so che su ogni incremento AX, posso costruire il proprio gnomone, cioè duplicare l’area del quadrato precedente. Pertanto, posso associare in modo biunivoco la superficie con la progressione geometrica dei quadrati (Y; Z), con X.
Superficie e progressione geometrica
La progressione geometrica è tutta solo stesso piano. Dunque ciò che vale per la radice è in regola anche per la superficie. Per dire che n indica la posizione sia per l’asse X che Y.
Mentre, OA = 1 è il punto di partenza comune sia per la radice sia per la superficie dei quadrati e rimarrà costante per tutta la progressione.
Ciò detto posso stabilire il termine iniziale anche per la superficie:
a1 = K10² = 1,999999998 944727844.
In questo caso, a1 corrisponde alla variante K18. Dunque:
S = K18³ = 1,999999998 944727844³ = 7,999999987 3367341346815959381982.
Ogni superficie quadrata è un intero e corrisponde a una potenza, quindi è scomponibile per K10. Comunque anche se ciò è chiaro, per non di meno, la faccio. E con K10 :
7,999999987 3367341346815959381982 / 1,414213562 = 5,656854242 0304792231101485775443 / 1,414213562 = 3,999999995 7789113771135993232289 / 1,414213562 = 2,828427122 507619805383820328 / 1,414213562 = 1,999999998 944727844 / 1,414213562 = 1,414213562 / 1,414213562 = 1
Solo per dare un riferimento con i numeri naturali, per i numeri mezzani, K18 corrisponde al criterio di divisibilità due. Per ciò, divido per K18:
7,999999987 3367341346815959381982 / 1,999999998 944727844 = 3,999999995 7789113771135993232289 / 1,999999998 944727844 = 1,999999998 944727844 / 1,999999998 944727844 = 1
Frazione intermedia
Progressione intermedia
Progressione intermedia
Ora voglio fare un esempio, di una progressione geometrica, con il termine comune diverso da uno (OA ≠ 1). Per dire che, il termine comune agli assi Y; X sono infiniti. E in questo caso, mi limito ad aggiungere solo un decimale, dunque: OA = 1,1. Tuttavia, per il momento, lo tengo incognito OA = x
E per fare un esempio, metto il caso in cui conosco solo la superficie S = 9,679999984 6774483029647310852198. E voglio scoprire il termine comune OA = x.
Con questo scopo, scompongo S per K10 : Cioè:
x = 9,679999984 6774483029647310852198 / 1,414213562 =
x = 6,844793632 8568798599632797788286 / 1,414213562 =
x = 4,839999994 892482766307455181107 / 1,414213562 =
x = 3,422396818 23421996451442259688 / 1,414213562 =
x = 2,419999998 72312069124 / 1,414213562 =
x = 1,711198410 02 / 1,414213562 =
x = 1,21Oppure per K18 = 1,999999998 944727844.
x = 9,679999984 6774483029647310852198 / 1,999999998 944727844 =
x = 4,839999994 892482766307455181107 / 1,999999998 944727844 =
x = 2,419999998 72312069124 / 1,999999998 944727844 =
x = 1,21.Dico subito che 1,21 corrisponde al termine comune, della progressione geometrica, elevato al quadrato. E poi i fattori primi della scomposizione sono tre, quindi n = 3.
Adesso, si tratta di trovare quel numero che moltiplicato per se stesso = 1,21. Cioè:
OA = √1,21 = 1,1.
Termini Iniziali
Trovato il termine comune della progressione geometrica, per prima cosa, devo adeguare i termini iniziali (X; Y) a quello comune. Cioè:
Per l’asse X, moltiplico OA per K10 elevato alla posizione n (OA . K10n). Cioè :
a1 = (OA . K10) = 1,1 . 1,414213562 = 1,5556349182; a2 = (OA . K10²) = 1,1 . 1,999999998 944727844 = 2,199999998 8392006284; a3 = (OA . K10³) = 1,1 . 2,828427122 507619805383820328 = 3,111269834 7583817859222023608.
Tale che la superficie di a3 =
S = a3 ² = 9,679999984 6774483029647310852198.
Mentre per Y:
a1 = (OA² . K18) = 1,21 . 1,999999998944727844 = 2,419999998 72312069124; a2 = (OA² . K18²) = 1,21 . 1,999999998 944727844² = 4,839999994 892482766307455181107; a3 = (OA² . K18³) = 1,21 . 1,999999998 944727844³ = 9,679999984 6774483029647310852198.
Tale che la √ a3 = 3,111269834 7583817859222023608.
A questo punto posso scomporre o fare calcoli sia sulla superficie sia sulla radice per tutta la linea mezzana Z.
Le progressioni geometriche, sono infinite sia per i termini iniziali che per le linee. Intendo dire che anche l’esponete è infinito (OA¹; OA²…
OAn).
Criterio di divisibilità
La successione geometrica evidenzia che i numeri intermedi sono divisibili, mostrando così una specifica struttura di divisibilità. Ciò significa che hanno una loro razionalità intrinseca.
9,679999984 6774483029647310852198 / 2,419999998 72312069124 (2,42) 3,999999995 7789113771135993232289 / 1,999999998 944727844 (2) 1,999999998 944727844 / 1,999999998 944727844 1
Per fare un altro esempio con i numeri naturali:
2,419999998 72312069124 / 1,999999998 944727844 = 1,21
So già che K18, per i numeri naturali, corrisponde al numero primo due. Dunque se moltiplico 2 * 1,21 = 2,42 allora 2,419999998 72312069124 corrisponde a 2,42. Dunque è pari.
Per quanto mi riguarda, sto considerando un nuovo metodo per calcolare la radice quadrata di un quadrato.
In fine, solo per chi non avesse letto “Perché inserisco uno spazio“, dico che lo spazio separa il decimale indefinito da quelli interi.
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