Il terzo Assioma in analogia con il precedente, presenta altri due operatori: sottrazione e divisione.
Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
Il terzo Assioma è in analogia con il secondo, perciò in coerenza con la costruzione. La sola differenza è il verbo “tolgono”. Un verbo contrario al precedente “aggiungono”. Potrebbe sembrare banale il senso di inversione verbale. In realtà, si introduce un nuovo e importante concetto che si concretizza nel procedimento per inverso rispetto a quello spiegato prima. Cioè, tutto ciò che vale per accrescere la linea è in regola anche con il contrario.
Sottrazione e divisione
Per tornare al tema, fermo il concetto di progressione di cose uguali e doppio. Ora per fare un esempio, tolgo una posizione a x3. Cioè:
x2= x3 – x1 = (1+1+1+1) – (1 + 1) = (1 + 1) = 2.
Ciò fatto è chiaro che, il terzo Assioma, completa gli operatori logici. Cosicché, dalla sottrazione giungerò a conoscere la divisione.
Ad ogni modo, anche se incomincio a fare dei calcoli, non conosco ancora i numeri e non riesco a distinguere le parti. Ho solo la grandezza, quindi posso diminuire la linea di tante volte affinché, per comparazione, x = 0. Voglio dire che, per adesso, la comparazione è il primitivo strumento che può farmi vedere la misura di una cosa rispetto a un’altra, e mi aiuta a capire a che punto sono. In pratica, non sono ancora in grado di stabilire quante lunghezze ci sono sulla linea. Posso solo confrontarla con un’altra.
Posizione e Assiomi
E per capire che sono ancora fermo allo strumento comparativo basta guardare i punti sulla retta (1 + 1 + 1 + 1). Dunque si capisce che ciò non è ancora sufficiente per indicare una posizione. In quanto, le unità sono tutte uguali tra di loro.
A questo punto, è chiaro che occorre trovare un sistema di calcolo, che produca un codice, che indichi una posizione unica.
La progressione geometrica degli Assiomi
Di certo si è già compreso che la progressione geometrica mi porterà a un algoritmo che genera i numeri naturali. Con gli Assiomi, dunque, si esce da una aritmetica primitiva per entrare in una dimensione più evoluta che si basa su un strumento matematico più complesso e articolato. Dove si tiene conto di: origine, posizione, quantità, fine e infinito.
Codici binari
I codici binari sono ampiamente conosciuti. Perciò, a priori, espongo solo un prospetto.
Assiomi e progressione di cose uguali.
E mi soffermo, solo sulle unità binarie Un . Per ciò, dalla tabella, estraggo le prime quattro.
Assiomi e unità binarie.
L’unità binaria è un insieme, di cose uguali, già concluso. E segue la crescita della progressione geometrica quindi è un elemento unico che può ripetersi solo nella rispettiva colonna (insieme).
Con il secondo Assioma è stato inserito il concetto di inizio (y = 0) per la progressione. Perciò, lo zero è il solo elemento che determina un inizio di tutte le unità binaria. E considerato che non è un elemento vuoto, ogni zero determina una posizione.
Ciò detto, minimizzo tutto alla prima colonna e all’unità binaria più semplice (0,1). So già che, ogni unità può ripetersi solo nella propria colonna (a = b). Con gli Assiomi dunque, per quanto semplici, posso iniziare a sviluppare calcoli più evoluti. In merito, so già che ogni accrescimento è comandato dalla costante due (q = 2).
I primi calcoli
Dunque se voglio sapere di quante m righe si compone l’unità binaria della terza colonna. Allora imposto n = 3. E poiché la cardinalità di Un è pari a quella delle m righe; allora con a1 = 1:
U3 = (((a1 x 2) x 2) x 2) = 8.
Che equivale a elevare due alla terza. Cioè:
m = U3 = 2 x 2 x 2 = 23 = 8.
Che si semplifica:
U3 = 23.
Cosicché, mi accorgo che l’esponente corrisponde con la posizione della colonna. Perciò, posso generalizzare. Vale a dire:
Un = 2n.
Di conseguenza, visto che la posizione n, di ogni colonna, corrisponde con l’esponente di una potenza con base q = 2, Allora è vero l’inverso. Cioè, l’esponente n corrisponde alla posizione.
2n = Un.
E fino ad ora, con l’interpretazione dei primi Assiomi, si è progredito fino a sviluppare delle potenze. E con esse la prima superficie quadrata.
Termini Primitivi
1. Un punto è ciò che non ha parti.
2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.
3. Gli estremi di una linea sono punti.
4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.
5. Una superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza.
6. Gli estremi di una superficie sono linee.
7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.
Assiomi
1. Cose uguali a un’altra sono uguali tra loro.
2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
3. Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
4. Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono uguali tra loro.
5. Il tutto è maggiore della parte.
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