Secondo Assioma

Il secondo Assioma, inserisce la progressione di cose uguali. E con questa dunque i primi due operatori: addizione e moltiplicazione.

Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.

In coerenza con il primo Assioma, l’Autore dopo avere introdotto il concetto d’insieme “Cose”, e la relazione tra gli elementi “uguali”, detta il secondo Assioma. Anche in questo caso si riferisce “a cose uguali” e ne mantiene fermo il concetto. Adesso però le precede con un “Se…” Un condizionale che introduce la facoltà di decidere. E questo mi ricollega con quanto ho già detto sulla grandezza. La protasi è indispensabile, perché nel secondo Assioma è inserita la possibilità di “aggiungere” ossia di addizionare. Per ciò, l’apodosi si esprime nell’ottenere ovvero nella somma.

Operatori aritmetici

secondo Assioma Chi ha scritto gli Assiomi ripete la necessità di tenere fermo lo stato delle cose del primo Assioma. E dice che ogni addendo è ottenuto dalle medesime “cose uguali”. Cioè, insiemi della stessa natura. Poi, oltre al condizionale, inserisce la possibilità di aggiungere. In altre parole, presenta l’addizione. È implicito che l’addizione porta alla moltiplicazione. E di conseguenza anche la possibilità di calcolo, oltre che di crescita. Per ciò, miro a un sistema numerico che mi permetta di trovare una posizione quindi una quantità. Uno strumento inequivocabile e sicuro.

Chiarita la condizione, ora si tratta di aggiungere altre parti alla prima. Cioè, alle ”cose uguali” del primo Assioma si deve aggiungere un secondo insieme con grandezza e natura uguale, e così via. E questo è chiaro.

Vado per gradi dunque mi soffermo sul concetto d’inizio. E non c’è dubbio che si tratta dello zero. Perciò, tutti quelli che seguono sono successivi. Tale che, un successivo x esiste solo se c’è un precedente y.

Progressione del primo Assioma

In altre parole, il successivo x è maggiore del precedente, quindi x esiste solo se maggiore > di y. Su questa base, sia y = 0. Tale che:

x1 = (y + n).

Poiché, conosco solo un altro elemento maggiore allo zero: n = 1. Ciò vuol dire che:

x1 = (0 + 1) = 1.

E, a sua volta, x1 sarà precedente rispetto a un successivo. E dato che aggiungo solo cose uguali. Allora il prossimo è x1 più se stesso:

x2 = (x1 + x1 ) = (1 + 1) = 2.

E questo corrisponde con l’insieme del primo Assioma (cose uguali). Ora, non ponendo fine a questa sequenza, voglio trovare il seguente di x2. Perciò, aggiungo la medesima cosa. Cioè:

x3 = (x2 + x2) = (1 + 1) + (1 + 1) = 2 + 2 = 4.

Per di più, con il secondo Assioma, osservo che aggiungere cose uguali a cose uguali è come duplicare la parte. E giacché questo è il rapporto che regola il costante accrescimento, tra il precedente e il successivo. Posso stabilire, fin da subito, il due come la costante tra cose uguali. In altre parole, un qualsiasi successivo è composto dalla somma di due termini che lo precedono. Cosicché:

xn = xn -1 + xn -1

Progressione geometrica

Con ciò si chiarisce perché, chi succede avrà una numerosità di elementi doppia rispetto al precedente. Per di più, si può notare che questa espressione è analoga a quella, del termine n-esimo di una progressione geometrica.

an = an -1 + an -1

In dottrina, la progressione geometrica è una successione di cose (a1, a2, a3, …, an) tale che sia costante il quoziente che risulta tra qualunque dei termini e il suo precedente. Il quoziente è una costante che si dice ragione della progressione ed è indicato con q.

(a2/ a1)= q, ( a3 / a2) = q, … (an / an-1) = q,…

E per finire il secondo Assioma, dico che q è la ragione, cioè il rapporto costante tra un termine e quello che lo precede.