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Il quarto Assioma definisce i criteri della sovrapposizione.
A ragion del vero, ho già applicato il quarto Assioma con il secondo Termine Primitivo. E poi con i successivi. Per dire che gli Assiomi sono una costruzione che si integra in diverse discipline. E non hanno limiti di dimensioni.
In sintesi, con il secondo Termine Primitivo, è stato chiamato in causa per togliere la larghezza dalla lunghezza. E poi, con il quinto Termine è stata data una visione geometrica di cose uguali tra loro. In quel caso, è stato portato in sovrapposizione un estremo sopra l’altro. E ciò è stato possibile in quanto i punti sono adimensionali quindi tutti uguali tra loro. E il risultato è stato un elemento monodimensionale e palindromo.
Le coppie opposte generano confusione mentale. Dire primo o ultimo, per la nostra logica, sono cose separate che percepiamo “lontane” tra loro. E se insisto a dire che sono uguali allora li sento come un paradosso. In vero però, il quarto Assioma, chiarisce che:
Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono uguali tra loro.
Il quarto Assioma visto dal Tartaglia
Nicolò Tartaglia fa un esempio e si preoccupa di sovrapporre un triangolo equilatero a un altro. Tale che, sia gli angoli che i lati, devono essere del tutto uguali. E poi, deduce che le due cose sono uguali tra loro. In altre parole, configura una simmetria geometrica che risponde a una equazione del tipo a = a.
Ciò scritto, in più dico che il quarto Assioma non si limita al solo caso di figure. Ma si riferisce a “Cose che possono essere portate a sovrapporsi…” Per questo, è bene, considerare il verbo “… portate…”. In questo caso, il senso di portare, è inteso come mettere in posizione sovrapposta cose uguali tra loro. E per rimanere in tema con il Tartaglia, per esempio, posso portare un singolo lato in sovrapposizione con una uguale linea. Intendo dire che il lato a, c, del primo triangolo è uguale al lato d, e, del secondo. Dunque sono sovrapponibili tra loro. Per questo, lo faccio. Ciò fatto, è chiaro che ora posso crescere in infinito. Cioè, a = b.
La retta e i punti su di essa
Ora, voglio riferire il quarto Assioma anche ai punti estremi di una linea.
E per essere più chiaro faccio il caso di tre unità, uguali tra loro, con gli estremi indicati dalle lettere: (a, b); (c, d); (e, f).
Punti estremi
È chiaro dunque che tra i due punti non c’è differenza, ma soprattutto non c’è distanza. Dove finisce uno inizia l’altro. In più, se decido di sovrapporre il punto e all’estremo d anche il punto (d, e) è centrale ai punti (c, f), ossia d è uguale a e. Per il fatto che, come prima, sono sovrapposti sul medesimo posto.
Con la sovrapposizione, ora, è più evidente la distanza che intercorre tra il primo estremo a e il finale f. Voglio dire che se fosse solo per la distanza percepita con la vista allora sosterei, con più forza, che i due estremi sono diversi tra loro. E questo è vero, ma solo per la posizione. In vero, però, quando deciderò di unire anche gli estremi (a, f) in un unico punto allora scoprirò che anche a è uguale con f. In altre parole, tutti gli estremi sono uguali tra loro.
Punti e grandezza
E poi, non poteva che essere così. Fin dal principio è stata messa la condizione che le cose sovrapposte devono essere uguali.
A questo punto, con riferimento al quarto Termine Primitivo, è bene dire che con la sovrapposizione del quarto Assioma sto costruendo pure i punti che giacciono sulla retta. E in proposito, so già che la retta è completa di lunghezza, E che entrambi sono definiti dagli estremi della linea. E per di più ho anche la grandezza. Per ciò, posso dire che ogni grandezza (o parte) è segnata da un punto sulla retta (a, f) . E in proposito ora, che ho letto i primi quattro Assiomi, posso dire che a ogni punto sulla retta corrisponde un numero.
Quarto Assioma e punti di vertice
Termini Primitivi
1. Un punto è ciò che non ha parti.
2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.
3. Gli estremi di una linea sono punti.
4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.
5. Una superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza.
6. Gli estremi di una superficie sono linee.
7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.
Assiomi
1. Cose uguali a un’altra sono uguali tra loro.
2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
3. Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
4. Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono uguali tra loro.
5. Il tutto è maggiore della parte.
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