Il primo Assioma, apre la costruzione con il concetto di uguaglianza:
Cose uguali a un’altra sono uguali tra loro.
www.e-rara.ch Euclide Megarense philosopho: unico introduttore delle scientie mathematice Tartaglia, Niccolò Ruffinelli. [Venedig], [1543] Biblioteca del PF di Zurigo
Intorno alla metà del quindicesimo secolo un valente matematico Bresciano, tale Nicolò Tartaglia, si è cimentato nella traduzione dal latino nonché nella spiegazione degli Assiomi trascritti da Euclide nella sua Opera.
Nella traduzione del primo Assioma considera due “Cose uguali…” e le identifica in due linee alle quali assegna le lettere a e b. E poi, attribuisce la lettera c al termine di paragone “… a un’altra…”. E poi spiega che se la linea a è uguale alla linea c. E anche la linea b è uguale alla linea c. Allora a e b sono uguali tra loro. Questo è vero e non si può eccepire. Anzi, aggiungo che questo tipo di relazione da al paragone, la proprietà commutativa.
Proprietà commutativa del primo Assioma
Cioè, il paragone c può essere invertito con uno degli elementi paragonati: a oppure b. E questa operazione lascia invariato il risultato. Il tutto però conferma, ancora una volta, che ognuno di questi elementi sono solo uguali tra loro.
Tuttavia, senza nulla togliere alla spiegazione del Tartaglia e alla deduzione con la quale non si può che essere in sintonia. Questa spiegazione, per quanto autorevole, non mi permette di progredire. A dirla tutta, mi sembra incompleta! Nel senso che, per quanto numerose possano essere le linee, alla fine potrei solo dire che tutti gli elementi non messi a paragone, sono uguali tra loro. Nulla di più.
In più, il traduttore, pone a paragone le linee a e b una alla volta. E non tratta la prima parte dell’Assioma “Cose uguali” al plurale, cioè come un insieme. Anzi le separa e li sovrappone, una alla volta, al paragone c. Non considerando la significativa possibilità dell’espressione “Cose uguali…” come un plurale imperativo. Cioè, non tiene in conto la possibilità, che a e b potevano essere intesi dall’Autore come due elementi uguali che formano un insieme. Cioè, una pluralità di elementi uguali tra loro, che andranno paragonati in uguaglianza al singolo elemento c (…a un’altra…).
Costruzione degli Assiomi
Inoltre, osservo che il Tartaglia, interpreta i cinque Assiomi uno alla volta. Cioè, non li tratta come una costruzione. Per ciò, li divide, e non cerca una continuità tra di loro. Come detto però, in questo modo, tutto finisce con il concetto di commutazione. Mentre se scelgo la soluzione insiemistica posso considerare gli Assiomi come una costruzione. E ciò ha una grande rilevanza e cambia la conclusione.
E poi sono controcorrente. Dunque nulla mi vieta di valutare la possibilità di introdurre “Cose uguali” come un insieme di elementi uguali che dovranno corrispondere con il paragone.
Integrazione con i Termini Primitivi
Per prima cosa, vedo gli Assiomi come è stato per i Termini Primitivi. Definizioni che si chiariscono tra di loro e mi spiegano quali sono i criteri verità cui attenersi. Dunque, quella data dal Fontana potrebbe non essere la sola spiegazione possibile. E magari, grazie all’eccezione, riuscirò a trovare una diversa interpretazione del primo Assioma. Tale che mi permetta di collegare anche gli altri in una singola costruzione. E soprattutto, alla fine, mi riportino ai Termini Primitivi.
Insieme del Primo Assioma
Il primo Assioma inizia, con introdurre delle “Cose” (plurale). E li distingue da “un’altra …” (singolare). Cioè dice che, in questo agglomerato, tutti gli elementi devono essere uguali tra loro. Dunque, è un insieme dove non sono ammesse grandezze o nature diverse. E poi, tutti insieme, sono uguali al paragone “…a un’altra…”. Cioè, una singola cosa deve uguagliare la pluralità di quelle aggregate. Il Maestro, sul termine “uguali” è chiaro e non ha bisogno di dire altro.
Termine di paragone
Per non di meno, con il quarto Termine Primitivo, ho già inserito una grandezza quindi ora la uso per fare un esempio del primo Assioma:
So che a con b sono due “cose uguali”.
Mentre, il paragone c “ …a un’altra…” è una singola cosa che somma (a + b).
Di conseguenza “…sono uguali tra loro.” (a + b) = c. Il risultato non cambia. In altre parole, la linea è uguale alle lunghezze o viceversa c = (b + a). Per la semplice ragione che hanno in comune gli stessi punti estremi. In questo modo, però, si conserva la proprietà commutativa. E, in più, si apre un accrescimento tra cose uguali che può essere infinito.
E lo ripeto con i numeri
Per farla breve, so che è prematuro usare i numeri e gli operatori aritmetici, ma li conosciamo tutti. E poi mi aiuta ad esporre il concetto quindi li uso. Tanto che per compiere l’intero argomento è sufficiente dire che:
(1+1) = 2 allora 2 = (1+1).
Dove gli addendi (1+1) sono le cose uguali. Mentre un’altra cosa è la somma (2).
Se addendi e somma sono uguali tra di loro. Allora, due è la linea e uno più uno sono le lunghezze, ovvero i punti sulla retta.
Riassumo
Introdotto, con gli Assiomi, il concetto di insieme ora però mi trovo di fronte a un altro problema. In pratica, posso osservare tanti elementi sparsi lungo la linea ordinati ma indistinti. E non c’è dubbio che è importante distinguere ogni unità. E trovare una posizione. Ecco perché, occorre un codice unico per ognuna di queste cose.
Termini Primitivi
1. Un punto è ciò che non ha parti.
2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.
3. Gli estremi di una linea sono punti.
4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.
5. Una superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza.
6. Gli estremi di una superficie sono linee.
7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.
Assiomi
1. Cose uguali a un’altra sono uguali tra loro.
2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
3. Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
4. Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono uguali tra loro.
5. Il tutto è maggiore della parte.
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