Prima di dare inizio ai calcoli sulla superficie del cerchio, però, devo presentare un altro cerchio. Mi riferisco a quello circoscritto al quadrato costruito sul segmento OA, che indicherò con Ac2. Tutti i cerchi, inscritti nella superficie quadrata, rispondono alla metà (o doppio). Perché sono in relazione con il segmento AX ossia con il nesso tra quadrato e cerchio. Già che ci sono dunque calcolo tre aree (Ac; Ac1; Ac2), così posso verificare se di fatto corrispondono con la metà.
Prima di dare inizio ai calcoli sulla superficie del cerchio, però, devo presentare un altro cerchio. Mi riferisco a quello circoscritto al quadrato costruito sul segmento OA, che indicherò con Ac2. Tutti i cerchi, inscritti nella superficie quadrata, rispondono alla metà (o doppio). Perché sono in relazione con il segmento AX ossia con il nesso tra quadrato e cerchio. Già che ci sono dunque calcolo tre aree (Ac; Ac1; Ac2), così posso verificare se di fatto corrispondono con la metà.
Calcolare l’area del cerchio
L’arco YX è uguale alla semicirconferenza MA
Sia l’area del cerchio = Ac. E poi scelgo una precisione a quattordici decimali dunque K10 = 1,41421356237309. Cosicché, OX = raggio = 1,41421356237309.
Ciò fatto, produco il segmento OA:
OA = OX / K10 = 1,41421356237309 / 1,41421356237309 =
OA = 1.
E tanto basta per calcolare Ac senza il Pi greco. In pratica:
Ac = (OA x (OX / 9)) x 40 =
Ac = (1 x 0,15713484026367 6…6) x 40 =
Ac = 0,15713484026367 6…6 x 40 =
Ac = 6,28539361054706 6…6.
In merito alla alla formula, dico che (OX / 9) corrisponde alla radice quadrata di una particella, mentre quaranta è uguale alle tavolette più un nono di se stesse. Cioè: 36 + (36 / 9) = 40 quindi è un riferimento assoluto (in proposito è consigliato leggere “Ripartizione del quadrato“). E poi dico che il risultato è un numero definito. Ciò si precisa perché se conosco solo π = 3,14 15926… non è possibile andare oltre a una precisione di due decimali interi. E anche se, dopo il secondo, leggi molti altri decimali sono una frazione di quest’ultimo. Di conseguenza, non si può produrre un intero oltre il secondo decimale.
Comunque, ho già effettuato il confronto tra il 𝜋 naturale e il Pi greco irrazionale quindi non lo ripeto. Se vuoi approfondire, allora può essere utile leggere ” Verifica del Pi greco“.
L’arco YX è uguale alla semicirconferenza MA
Sia l’area del cerchio = Ac. E poi scelgo una precisione a quattordici decimali dunque K10 = 1,41421356237309. Cosicché, OX = raggio = 1,41421356237309.
Ciò fatto, produco il segmento OA:
OA = OX / K10 = 1,41421356237309 / 1,41421356237309 = OA = 1.
E tanto basta per calcolare Ac senza il Pi greco. In pratica:
Ac = (OA x (OX / 9)) x 40 = Ac = (1 x 0,15713484026367 6…6) x 40 = Ac = 0,15713484026367 6…6 x 40 = Ac = 6,28539361054706 6…6.
In merito alla alla formula, dico che (OX / 9) corrisponde alla radice quadrata di una particella, mentre quaranta è uguale alle tavolette più un nono di se stesse. Cioè: 36 + (36 / 9) = 40 quindi è un riferimento assoluto (in proposito è consigliato leggere “Ripartizione del quadrato“). E poi dico che il risultato è un numero definito. Ciò si precisa perché se conosco solo π = 3,14 15926… non è possibile andare oltre a una precisione di due decimali interi. E anche se, dopo il secondo, leggi molti altri decimali sono una frazione di quest’ultimo. Di conseguenza, non si può produrre un intero oltre il secondo decimale.
Comunque, ho già effettuato il confronto tra il 𝜋 naturale e il Pi greco irrazionale quindi non lo ripeto. Se vuoi approfondire, allora può essere utile leggere ” Verifica del Pi greco“.
Area del cerchio Ac1
Per la seconda prova, ferma la stessa formula, procedo per calcolare l’area del cerchio Ac1. Per ciò, con OA = 1:
OB = OA / K10 =
OB = 1 / 1,41421356237309 = 0,70710678118655 004880168872421871.
OB è la metà di OX.
In questo caso OB è numero mezzano indefinito (ex irrazionale). E ciò vuol dire che rispetto a prima, per calcolare l’area del cerchio, ho cambiato linea numerica.
Preparati i dati, e fatta l’introduzione sulla linea mezzana, procedo con i calcoli dell’area Ac1.
Cioè:
Ac1 = (OB x (OA / 9)) x 40 =
Ac1 = (OB x (1 / 9) x 40 =
Ac1 = (0,70710678118655 004880168872421871 x 0,1…1) x 40 =
Ac1 = 0,07856742013183 889431129874713541 x 40 =
Ac1 = 3,14269680527355 57724519498854165.
Invece se, cambio idea. E, cerco quella definita. Allora:
Ac1 = (OB x (OA / 9)) x 40 =
Ac1 = (0,707106781186545 x 0,1…1) x 40 =
Ac1 = 0,078567420131838 3…3 x 40 =
Ac1 = 3,142696805273533 3…3.
In breve, ho solo sostituito OA indefinito con quello definito.
E dopo ciò, verifico se l’area del cerchio Ac1 corrisponde alla metà di Ac.
Per la seconda prova, ferma la stessa formula, procedo per calcolare l’area del cerchio Ac1. Per ciò, con OA = 1:
OB = OA / K10 =
OB = 1 / 1,41421356237309 = 0,70710678118655 004880168872421871.OB è la metà di OX.
In questo caso OB è numero mezzano indefinito (ex irrazionale). E ciò vuol dire che rispetto a prima, per calcolare l’area del cerchio, ho cambiato linea numerica.
Preparati i dati, e fatta l’introduzione sulla linea mezzana, procedo con i calcoli dell’area Ac1.
Cioè:
Ac1 = (OB x (OA / 9)) x 40 = Ac1 = (OB x (1 / 9) x 40 = Ac1 = (0,70710678118655 004880168872421871 x 0,1…1) x 40 = Ac1 = 0,07856742013183 889431129874713541 x 40 = Ac1 = 3,14269680527355 57724519498854165.
Invece se, cambio idea. E, cerco quella definita. Allora:
Ac1 = (OB x (OA / 9)) x 40 = Ac1 = (0,707106781186545 x 0,1…1) x 40 = Ac1 = 0,078567420131838 3…3 x 40 = Ac1 = 3,142696805273533 3…3.
In breve, ho solo sostituito OA indefinito con quello definito.
E dopo ciò, verifico se l’area del cerchio Ac1 corrisponde alla metà di Ac.
Come doppiare un numero irrazionale
Anche se ho già esposto l’argomento con l’articolo sulla circonferenza. Per considerare completa questa prova, dunque, devo chiarire anche il concetto di doppio tra un numero intermedio indefinito e un definito.
Con i numeri indefiniti il doppio rispetto a un intero, non si trova moltiplicando per due. Perché, questo numero, non ha multipli sulla linea mezzana indefinita. Per ciò, se voglio trovare il doppio da confrontare con Ac (che invece è un numero intermedio definito), allora devo moltiplicare per due volte con la costante K10 ovvero con K10². Cioè:
Ac = (Ac1 x K10²) =
Ac = (3,14269680527355 57724519498854165 x 1,99999999999998 57198323561481) =
Ac = 6,28539361054706 6…67.
Come puoi vedere il risultato conferma che il calcolo dell’area del cerchio (Ac) è il doppio di Ac1. In più, ciò conferma che esiste una diversità aritmetica tra le due linee numeriche e il regolare rapporto proporzionale.
Anche se ho già esposto l’argomento con l’articolo sulla circonferenza. Per considerare completa questa prova, dunque, devo chiarire anche il concetto di doppio tra un numero intermedio indefinito e un definito.
Con i numeri indefiniti il doppio rispetto a un intero, non si trova moltiplicando per due. Perché, questo numero, non ha multipli sulla linea mezzana indefinita. Per ciò, se voglio trovare il doppio da confrontare con Ac (che invece è un numero intermedio definito), allora devo moltiplicare per due volte con la costante K10 ovvero con K10². Cioè:
Ac = (Ac1 x K10²) = Ac = (3,14269680527355 57724519498854165 x 1,99999999999998 57198323561481) = Ac = 6,28539361054706 6…67.
Come puoi vedere il risultato conferma che il calcolo dell’area del cerchio (Ac) è il doppio di Ac1. In più, ciò conferma che esiste una diversità aritmetica tra le due linee numeriche e il regolare rapporto proporzionale.
Area del cerchio Ac2
Per calcolare Ac2 , divido OB per K10. Dunque:
OC = OB / K10 =
OC = 0,70710678118655 004880168872421871 / 1,41421356237309 =
OC = 0,50000000000000 357004191096300049.E poi:
Ac2 = (OC x (OB / 9)) x 40 =
Ac2 = (OC x (0,70710678118655 004880168872421871 / 9) x 40 =
Ac2 = (OC x 0,07856742013183 889431129874713541) x 40 =
Ac2 = (0,50000000000000 357004191096300049 x 0,07856742013183 889431129874713541) x 40 =
Ac2 = 0,03928371006591 972764463208047075 x 40 =
Ac2 = 1,57134840263678 91057852832188299.
Ora cambio sistema. E per farlo, prima, calcolo la superficie del quadrato = S e poi Ka. Così che:
S = (OX x 2)² = 2,82842712474618² = 7,99999999999994 28793294245924.
quindi:
Ka = K10 x 0,9 = 1,41421356237309 x 0,9 = 1,272792206135781.
E poi, calcolo l’area del cerchio:
Ac2 = (S / 4) / Ka =
Ac2 = (7,99999999999994 28793294245924 / 4) / Ka =
Ac2 = 1,99999999999998 57198323561481 / 1,272792206135781 = 1,57134840263676 6…6.
Questa volta sono, tornato, sulla linea degli interi quindi per trovare la corrispondenza con Ac posso moltiplicare per quattro. Perché, Ac2 è un sottomultiplo di Ac. Cioè:
Ac = Ac2 x 4 = 1,57134840263676 6…6 x 4 = 6,28539361054706 6…67.
E anche qui i numeri confermano la tesi.
Scartata l’idea che non si può calcolare l’area di un cerchio senza il Pi greco, il cerchio offre comunque l’opportunità di esplorare altre interessanti costruzioni geometriche.
Per calcolare Ac2 , divido OB per K10. Dunque:
OC = OB / K10 =
OC = 0,70710678118655 004880168872421871 / 1,41421356237309 =
OC = 0,50000000000000 357004191096300049.E poi:
Ac2 = (OC x (OB / 9)) x 40 = Ac2 = (OC x (0,70710678118655 004880168872421871 / 9) x 40 = Ac2 = (OC x 0,07856742013183 889431129874713541) x 40 = Ac2 = (0,50000000000000 357004191096300049 x 0,07856742013183 889431129874713541) x 40 = Ac2 = 0,03928371006591 972764463208047075 x 40 = Ac2 = 1,57134840263678 91057852832188299.
Ora cambio sistema. E per farlo, prima, calcolo la superficie del quadrato = S e poi Ka. Così che:
S = (OX x 2)² = 2,82842712474618² = 7,99999999999994 28793294245924.
quindi:
Ka = K10 x 0,9 = 1,41421356237309 x 0,9 = 1,272792206135781.
E poi, calcolo l’area del cerchio:
Ac2 = (S / 4) / Ka = Ac2 = (7,99999999999994 28793294245924 / 4) / Ka = Ac2 = 1,99999999999998 57198323561481 / 1,272792206135781 = 1,57134840263676 6…6.
Questa volta sono, tornato, sulla linea degli interi quindi per trovare la corrispondenza con Ac posso moltiplicare per quattro. Perché, Ac2 è un sottomultiplo di Ac. Cioè:
Ac = Ac2 x 4 = 1,57134840263676 6…6 x 4 = 6,28539361054706 6…67.
E anche qui i numeri confermano la tesi.
Scartata l’idea che non si può calcolare l’area di un cerchio senza il Pi greco, il cerchio offre comunque l’opportunità di esplorare altre interessanti costruzioni geometriche.
Verifico l’area del cerchio con il quadrato
Dopo aver completato le aree Ac, Ac1 e Ac2 calcolo l’area del quadrato utilizzando gli elementi del cerchio. Cioè:
S = (Ac / 𝜋) x 4 =
S = (6,28539361054706 6… 6 / 3,14269680527355 57724519498854165) x 4 =
S = 1,99999999999998 57198323561481 x 4 =
S = 7,99999999999994 28793294245924.
E tanto basta.
Dopo aver completato le aree Ac, Ac1 e Ac2 calcolo l’area del quadrato utilizzando gli elementi del cerchio. Cioè:
S = (Ac / 𝜋) x 4 = S = (6,28539361054706 6… 6 / 3,14269680527355 57724519498854165) x 4 = S = 1,99999999999998 57198323561481 x 4 = S = 7,99999999999994 28793294245924.
E tanto basta.
Regolarità dei numeri indefiniti
A proposito della regolarità, voglio soffermarmi sul fatto che:
Ac1 x K10 = 3,14269680527355 57724519498854165 x 1,41421356237309 = 4,4…4.
In questo caso Ac1 è un numero indefinito. Invece, la costante K10 ha tutti i decimali interi e in rapporto di un nono tra loro. Perciò è un numero intermedio definito. Voglio dire che, se metto in relazione un numero indefinito con K10 allora, la risposta è un numero regolare in ogni decimale. E il periodico lo dimostra. Come detto, invece, se relaziono un numero naturale o un mezzano definito con K10 allora produco la frazione del punto intero finale. Infatti:
3,14269680527353 3…3 x 1,41421356237309 = 4,44444444444441 2710738569218.Comunque, per non andare fuori tema, riprendo il calcolo dell’area del cerchio.
A proposito della regolarità, voglio soffermarmi sul fatto che:
Ac1 x K10 = 3,14269680527355 57724519498854165 x 1,41421356237309 = 4,4…4.
In questo caso Ac1 è un numero indefinito. Invece, la costante K10 ha tutti i decimali interi e in rapporto di un nono tra loro. Perciò è un numero intermedio definito. Voglio dire che, se metto in relazione un numero indefinito con K10 allora, la risposta è un numero regolare in ogni decimale. E il periodico lo dimostra. Come detto, invece, se relaziono un numero naturale o un mezzano definito con K10 allora produco la frazione del punto intero finale. Infatti:
3,14269680527353 3…3 x 1,41421356237309 = 4,44444444444441 2710738569218.Comunque, per non andare fuori tema, riprendo il calcolo dell’area del cerchio.
L’area del cerchio e il punto B
Sto verificando ancora l’area del cerchio e mi concentro sul punto B perché si trova al centro del lato OX, intercettando così il raggio di Ac2. In pratica:
OB = OA / K10 = 1 / 1,41421356237309 = 0,707106781186550 04880168872421871.
Pertanto, per calcolare l’area del cerchio Ac2 applico la formula classica 𝜋r² dove r² = OB²:
Ac2 = 𝜋OB² = 0,707106781186550 04880168872421871² x 𝜋 =
Ac2 = 0,50000000000000 357004191096300049 x 3,14269680527355 57724519498854165 =
Ac2 = 1,57134840263678 91057852832188299.
Se invece voglio l’area del cerchio (Ac2 ) definita, allora so già, che il raggio deve essere un numero intermedio definito. In pratica:
Ac2 = OB²𝜋 = 0,707106781186545² x 𝜋 =
Ac2 = 0,49999999999999 6429958089037025 x 3,14269680527355 57724519498854165 =
Ac2 = 1,57134840263676 6…67.
Verificato, con i numeri, che OB è il raggio di Ac2, Calcolo anche la seconda parte di OX. Dunque, produco i segmenti BA e AX. Cioè:
BA = OA - OB = 1 - 0,707106781186550 04880168872421871 = 0,29289321881344 995119831127578129;
AX = OX - OA = 1,41421356237309 - 1 = 0,41421356237309.Così che:
BX = BA + AX =
0,29289321881344 995119831127578129 +
0,41421356237309 =
0,70710678118653 995119831127578129.Tale che:
OX = OB + BX =
0,70710678118655 004880168872421871 +
0,70710678118653 995119831127578129 =
1,41421356237309Anche questa volta il punto di vertice B è un punto intero. Cioè le due parti indefinite completano un punto.
Ciò detto è importante dire che se sommo le due aree OB² le cose cambiano. Perché si sommano una parte indefinita con una parte definita, E ciò non consente la sovrapposizione del punto estremo. Cioè:
OA² = (0,707106781186550 04880168872421871² + 0,707106781186545²) =
0,50000000000000 357004191096300049 +
0,49999999999999 6429958089037025 =
1,00000000000000 000000000000002549Anche se per pochissimo, il punto estremo del numero indefinito, ha superato la sovrapposizione con quello definito. Ecco perché gli estremi, dei due numeri, non possono essere portati a sovrapporsi tra di loro (Quarto Assioma). E rimarranno distinti in due linee. Invece, per produrre un intero (OA² = 1) allora devo calcolare lo gnomone G = 2F + R. Dunque:
Sto verificando ancora l’area del cerchio e mi concentro sul punto B perché si trova al centro del lato OX, intercettando così il raggio di Ac2. In pratica:
OB = OA / K10 = 1 / 1,41421356237309 = 0,707106781186550 04880168872421871.
Pertanto, per calcolare l’area del cerchio Ac2 applico la formula classica 𝜋r² dove r² = OB²:
Ac2 = 𝜋OB² = 0,707106781186550 04880168872421871² x 𝜋 = Ac2 = 0,50000000000000 357004191096300049 x 3,14269680527355 57724519498854165 = Ac2 = 1,57134840263678 91057852832188299.
Se invece voglio l’area del cerchio (Ac2 ) definita, allora so già, che il raggio deve essere un numero intermedio definito. In pratica:
Ac2 = OB²𝜋 = 0,707106781186545² x 𝜋 = Ac2 = 0,49999999999999 6429958089037025 x 3,14269680527355 57724519498854165 = Ac2 = 1,57134840263676 6…67.
Verificato, con i numeri, che OB è il raggio di Ac2, Calcolo anche la seconda parte di OX. Dunque, produco i segmenti BA e AX. Cioè:
BA = OA - OB = 1 - 0,707106781186550 04880168872421871 = 0,29289321881344 995119831127578129;
AX = OX - OA = 1,41421356237309 - 1 = 0,41421356237309.Così che:
BX = BA + AX =
0,29289321881344 995119831127578129 +
0,41421356237309 =
0,70710678118653 995119831127578129.Tale che:
OX = OB + BX =
0,70710678118655 004880168872421871 +
0,70710678118653 995119831127578129 =
1,41421356237309Anche questa volta il punto di vertice B è un punto intero. Cioè le due parti indefinite completano un punto.
Ciò detto è importante dire che se sommo le due aree OB² le cose cambiano. Perché si sommano una parte indefinita con una parte definita, E ciò non consente la sovrapposizione del punto estremo. Cioè:
OA² = (0,707106781186550 04880168872421871² + 0,707106781186545²) =
0,50000000000000 357004191096300049 +
0,49999999999999 6429958089037025 =
1,00000000000000 000000000000002549Anche se per pochissimo, il punto estremo del numero indefinito, ha superato la sovrapposizione con quello definito. Ecco perché gli estremi, dei due numeri, non possono essere portati a sovrapporsi tra di loro (Quarto Assioma). E rimarranno distinti in due linee. Invece, per produrre un intero (OA² = 1) allora devo calcolare lo gnomone G = 2F + R. Dunque:
Gnomone
2F = 2 x (OB x BA)=
2F = 2 x (0,707106781186550 04880168872421871 x 0,29289321881344 995119831127578129) =
2F = 2 x 0,207106781186546 47875977776121822 =
2F = 0,41421356237309 295751955552243644.
E poi:
R = BA² = 0,29289321881344 995119831127578129² = 0,08578643762690 347243853351456307.
Dunque,:
G = 2F + R =
0,41421356237309 295751955552243644 +
0,08578643762690 347243853351456307 =
0,49999999999999 642995808903699951A questo punto, per completare la superficie, non rimane che aggiungere OA². In pratica:
S = OA² + G =
0,50000000000000 357004191096300049+
0,49999999999999 642995808903699951=
1Lo gnomone, invece, ha trovato la sovrapposizione con l’intero uno. E con ciò ritengo conclusa la procedura per calcolare l’area del cerchio intermedia.
2F = 2 x (OB x BA)= 2F = 2 x (0,707106781186550 04880168872421871 x 0,29289321881344 995119831127578129) = 2F = 2 x 0,207106781186546 47875977776121822 = 2F = 0,41421356237309 295751955552243644.
E poi:
R = BA² = 0,29289321881344 995119831127578129² = 0,08578643762690 347243853351456307.
Dunque,:
G = 2F + R =
0,41421356237309 295751955552243644 +
0,08578643762690 347243853351456307 =
0,49999999999999 642995808903699951A questo punto, per completare la superficie, non rimane che aggiungere OA². In pratica:
S = OA² + G =
0,50000000000000 357004191096300049+
0,49999999999999 642995808903699951=
1Lo gnomone, invece, ha trovato la sovrapposizione con l’intero uno. E con ciò ritengo conclusa la procedura per calcolare l’area del cerchio intermedia.
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