Il nesso tra quadrato e cerchio è rilevante. Perché, in definizione, la circonferenza è un insieme di punti equidistanti dal centro. E di consueto, sarebbe sufficiente divaricare il compasso e fare un giro. Ma sono controcorrente quindi sono “obbligato” a mostrare anche quello che non si vede, ossia la connessione tra le due figure. Piuttosto, dunque, preferisco prendere un centro e fare una rotazione con un quadrato. Cosicché, per primo, scopro che la circonferenza è di sicuro un insieme di punti, ma di vertice. Poi noto che, la rotazione, ha tracciato due cerchi: uno circoscritto e l’altro inscritto. E questo è l’effetto della relazione lato-diagonale. Di conseguenza, posso dire che il cerchio ha la stessa relazione del quadrato. Allora deve avere uguali proporzioni.
Proporzioni tra quadrato e cerchio
Forse sarebbe stato meglio che ci avessi pensato prima. Però, la scelta di tenere in evidenza la relazione lato-diagonale, anche nel cerchio, di sicuro non è casuale e mostra il nesso tra quadrato e cerchio. Inoltre, la circostanza, mi da l’occasione per affermare che il cerchio inscritto è la metà del circoscritto. Proprio come per le aree del quadrato.
Nesso tra quadrato e cerchio
Mettiamo dunque tra gli appunti che la distanza che intercorre tra i perimetri P4 e P3 e le circonferenze C e C₁ è uguale al segmento AX. E questo vuol dire che uno e la metà dell’altro.
Quello del doppio dunque è un concetto assoluto, che persiste anche tra il cerchio circoscritto e quello inscritto. Perciò, posso affermare che sia il quadrato sia il cerchio rispondono ugualmente al rapporto lato-diagonale. Di conseguenza, l’area interclusa tra le due circonferenze quella in giallo e quella in bianco, sono uguali. Esattamente come avviene tra le aree del quadrato.
Infatti, ricomposte le figure in un unico corpo, si conferma che sono congruenti con il lato = l = r = OX. Questo vuol dire che, in linea di massima, ciò che vale per il quadrato ha valore anche per il cerchio.
Costante 1,4142…
Nesso tra quadrato e cerchio
Nesso tra quadrato e cerchio
Prima di iniziare i calcoli, dico subito che la diagonale di un lato uno è la costante da cui discendono tutti i riferimenti fissi (compreso il Pi greco). Inoltre, è un numero illimitato. E questo, mi costringe a scegliere una precisione. Cioè, devo determinarlo con un numero preciso di decimali. Per questa volta, dunque, lo fisso in sei decimali la costante K10 = 1,414213. Ciò deciso. Sia OX = 1.
Di conseguenza:
OA = K10 / 2 = 0,7071065.
AX = OX - OA = 0,2928935.Ho accennato al Pi greco e sto sostenendo che è connesso con K10. Infatti, come sto per mostrare il π è un numero composto da due parti π1 + (π1 / 9).
Collegamento tra perimetro P1 e Pi greco
Segmento OA
Segmento OA
π1 corrisponde al perimetro costruito sul segmento OA di un lato uno. Inoltre, so che la diagonale di uno è il doppio del segmento OA. Perciò, per calcolare π1 è sufficiente moltiplicare K10 per due. Cioè:
π1 = (K10 x 2) = 1,414213 x 2 = 2,828426.In questo caso ho prodotto un numero intero. Invece, se lo voglio anche con la parte indefinita . Per primo, devo dividere un intero per un numero mezzano definito “irrazionale” . Cioè:
OA = OX / K10 = 1 / 1,414213 = 0,707107 06237320686487820434404153.E con ciò, ho frazionato il sesto decimale intero. Perciò:
π1 = (4OA) = 0,707107 06237320686487820434404153 x 4 = 2,828428 2494928274595128173761661. Il quadrato P1 su base uno, dunque è una costante utile per il calcolo dei perimetri quadrati. E come tale, è in rapporto di un nono con il Pi greco naturale. Cioè, se aggiungo a π1 un nono di se stesso produco π naturale. Cioè:
π = π1 + (π1 / 9) = 2,828426 + 0,3142695…56 = 3,142695 5…5.Oppure posso semplificare. Vale a dire:
π = π1 / 0,9 = 2,828428 2494928274595128173761661 / 0,9 = 3,142698 05499203051056979797084629.Cosicché, ho prodotto due π: uno utile per i calcoli sugli interi e l’altro per quelli sui numeri mezzani indefiniti (ex irrazionali)
Calcoli sulle aree
Senza perdere di vista il nesso tra quadrato e cerchio. Ho inserito π1 e π quindi posso verificare se per davvero, le aree del quadrato (A1 e A2) e quelle del cerchio (Ac e Ac1) corrispondono alla metà. Vale a dire:
A1 = 2OX² = 2² = 4. A2 = 2OA² = 1,414213² = 1,999998 409369.
In proposito al risultato, dico solo che l’ultimo punto di A2 è un parziale compreso tra 1,999998 e 1,999999 (appunto mezzano). Mentre, se vuoi scoprire dove si trova la parte che manca per raggiugere il due è consigliato leggere l’articolo sulla radice quadrata di due , punto di vertice o “Gnomone“.
Come doppiare un numero irrazionale
AX è il nesso tra quadrato e cerchio.
AX è il nesso tra quadrato e cerchio.
Con i numeri “irrazionali” il doppio, non si trova moltiplicando per due (ossia per un intero). Perché, gli “irrazionali” non hanno multipli tra gli interi. Perciò, se voglio trovare il doppio di A2. In questo caso, devo accrescere A2 per due volte 0,7071065 ovvero OA² = 0,49999960234225. Cioè:
A2 = (1,999998 409369 / 0,49999960234225) = 4.Ciò fatto, produco le aree del cerchio:
Ac = OX²π = 1 x 3,142695 5…56 = 3,142695 5…56.E poi:
Ac1 = OA²π = 0,499999 60234225 x 3,142695 5…56 = 1,571346528060534220 5…56.Proprio come per il quadrato se voglio il doppio di Ac1 anche qui, non posso moltiplicare per un intero. Bensì incremento per due volte con
(K10 / 2)². Cioè:
Ac = (1,571346528060534220 5…56 / 0,49999960234225 = 3,142695 5…56.Dal quadrato al cerchio
Immagine
Immagine
Per finire con le aree, calcolo AC partendo dalla superficie del quadrato A1. E questo per avere l’occasione di presentare la diagonale di 0,9. Vale a dire:
Ka = 0,9 x K10 = 0,9 x 1,414213 = 1,2727917.Mentre per avere anche il punto indefinito:
Ka = 0,9 x ((1 / K10) x 2) =
Ka = 0,9 x (0,707107 06237320686487820434404153 x 2) =
Ka = 0,9 x 1,414214 1247464137297564086880831 =
Ka = 1,272792 7122717723567807678192747.Anche Ka quindi, è un numero proporzionato al rapporto di un nono. Per questo lo posso usare per calcolare l’area del cerchio inscritto intera:
Ac = A1 / Ka = 4 / 1,2727927 122717723567807678192747 = 3,142695 5…5.Invece con la frazione indefinita:
Ac = A1 / Ka = 4 / 1,2727927 = 3,142698 054992030510569797084629.Perimetri e nesso con il cerchio
Di solito, il Pi greco è utilizzato per calcoli sul cerchio. Con tutto ciò, considerato il nesso tra quadrato e cerchio, voglio coinvolgere π₁ e Pi greco naturale per produrre anche i perimetri.
P4 = (π1OA) x 4 =
P4 = (2,828428 2494928274595128173761661 x 0,7071065) x 4 =
P4 = 2 x 4 = 8.In questo caso ho usato l’ indefinito. Perché se moltiplico tra loro due numeri mezzani: uno indefinito e l’altro definito. Allora il prodotto è un intero. In pratica π1 = 2,828428 2494928274595128173761661 (indefinito) per 0,7071065 (mezzano definito) = 2. Anche se, questi numeri, non possono sovrapporsi a un intero quindi devo essere cosciente che si tratta di un arrotondamento del calcolatore. In merito, è bene leggere “superficie quadrata” al paragrafo “cosa dicono i numeri”.
Chiarito il passaggio, per discendere da P4 il perimetro inscritto (indefinito) uso K10:
P3 = (P4 / K10) = (8 / 1,414213) = 5,656856 4989856549190256347523322.Ciò fatto, ricalcolo il circoscritto con π = 3,142698 054992030510569797084629.
Cioè:
P4 = (4π / 10) x (OA x 9) = P4 = (4 x 3,142698 054992030510569797084629 / 10) x (0,707107 06237320686487820434404153 x 9) = P4 = (12,570792219968122042279188338516 / 10) x 6,3639585 = P4 = 1,257079 2219968122042279188338516 x 6,3639585 = P4 = 8.
Paragone con 3,14 159265…
A questo punto, se ripeto la stessa operazione con il Pi greco irrazionale = 3,14 15… allora mi accorgo della differenza tra i due π. Cioè:
P4 = (4π / 10) x (OA x 9) = 1,2566370614359172953850573533118 x 6,3639585 =
P4 = 7,99 71861085401280772627465165961.
Nesso tra quadrato e cerchio
E anche se di poco, il prodotto, non è uguale al perimetro. E poi non posso andare oltre i due decimali interi. Per dire che, il quadrato è un riferimento puro e mostra, senza equivoco, che 3,14 15… è meno preciso. In merito, con l’articolo “Verifica del Pi greco 3,141592” è stato fatto un confronto anche con la circonferenza ma è chiaro il risultato non cambia.
Comunque, i perimetri P4 e P2 sono entrambi interi e multipli tra loro. Per ciò, nella circostanza, posso dividerli per due. Cioè:
P2 = (P4 / 2) = (8 / 2) = 4.A questo punto osservo che P2 è un quadrato con vertici interi. E ciò vuol dire che, anche la relativa circonferenza C1 è composta da punti interi. Voglio dire che C1, in questo caso, deve essere un numero intero. Una situazione non secondaria. Perché, con π = 3,14 15… non è possibile produrre più di due decimali interi.
Circonferenza intera
Conosco già il Pi greco quindi lo uso per trovare le due circonferenze C e C1. In pratica:
C = 2πr = 6,285396 109984061021139594169258 x 1 = 6,285396 109984061021139594169258.Mentre se voglio le circonferenze in forma intera allora uso il π appropriato. Cioè:
C = 2πr = 6,28539 1…1 x 1 = 6,28539 1…1.
C1 = C / K10 = 6,28539 1…1 / 1,414213 = 4,4…4.
In tutta coerenza i prodotti di C e C1 sono numeri intermedi definiti. In particolare il periodico conferma, in ogni punto, sia la regolarità sia la precisione della circonferenza C1. Infatti, per quanto infiniti, ogni singolo decimale, sarà sempre un intero. E di conseguenza, posso dire che la circonferenza intera esiste.
Ora senza uscire dalla diversità logica che caratterizza questi numeri, espongo una formula che raccoglie gli elementi principali sia del quadrato sia del cerchio. E concludo con il nesso tra le due figure. Così che:
P3 = = (A1 / Ac) x C =
P3 = (4 / 3,142695 5…56) x 4,4…4 =
P3 = 5,656856 4989856549190256347523322.
E anche questa volta si conferma, la perfetta proporzionalità tra le figure, quindi il nesso tra quadrato e cerchio.
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