Ripartizione della superficie piana
Il calcolo della circonferenza senza il Pi greco! Forse, è quello che ti interessa scoprire di più quindi darò subito inizio ai calcoli. L’esclusione del Pi greco, di sicuro, ha una particolare utilità concettuale e didattica. Infatti, trovato un termine di paragone, potrò fare un confronto aritmetico. E una concreta valutazione, matematica e geometrica, di questo numero. Nell’articolo “Ripartizione del quadrato” ho suddiviso la superficie del quadrato in aree. Considerandole, dei riferimenti assoluti per il calcolo degli elementi propri della superficie. Adesso, in modo semplice, basandomi su questo e la costante K10 = 1,414213 costruirò la circonferenza. In più è chiaro che avrò bisogno anche di un raggio = lato = OX = 1.
Ripartizione della superficie piana
Il calcolo della circonferenza senza il Pi greco! Forse, è quello che ti interessa scoprire di più quindi darò subito inizio ai calcoli. L’esclusione del Pi greco, di sicuro, ha una particolare utilità concettuale e didattica. Infatti, trovato un termine di paragone, potrò fare un confronto aritmetico. E una concreta valutazione, matematica e geometrica, di questo numero. Nell’articolo “Ripartizione del quadrato” ho suddiviso la superficie del quadrato in aree. Considerandole, dei riferimenti assoluti per il calcolo degli elementi propri della superficie. Adesso, in modo semplice, basandomi su questo e la costante K10 = 1,414213 costruirò la circonferenza. In più è chiaro che avrò bisogno anche di un raggio = lato = OX = 1.
Calcolo la circonferenza senza il Pi greco
Circonferenza circoscritta e inscritta
In vero, con l’articolo “Nesso tra quadrato e cerchio“, ho già inserito formule proporzionali che fanno a meno del Pi greco per calcoli sul cerchio. E anche ora, senza lasciare la proporzionalità, voglio inserire procedure che tengono conto dei riferimenti assoluti che provengono dalla ripartizione del quadrato e dal rapporto di un nono. E con questi, calcolo la circonferenza intera = C:
C = [( OX x K10) / 9] x 40 = (1,414213 / 9) x 40 = 0,157134 7…78 x 40 = 6,285391 1…1.
Come ho detto, il fattore quaranta corrisponde alla divisione della superficie in tavolette, più un nono. Cioè: 36 + (36 / 9) = 40. Tradotto in lettere, dunque significa che la circonferenza è 40 volte un nono della diagonale del quadrante.
In questo caso, ho calcolato una circonferenza intera. E non mi sembra che sia stato difficile.
Circonferenza circoscritta e inscritta
In vero, con l’articolo “Nesso tra quadrato e cerchio“, ho già inserito formule proporzionali che fanno a meno del Pi greco per calcoli sul cerchio. E anche ora, senza lasciare la proporzionalità, voglio inserire procedure che tengono conto dei riferimenti assoluti che provengono dalla ripartizione del quadrato e dal rapporto di un nono. E con questi, calcolo la circonferenza intera = C:
C = [( OX x K10) / 9] x 40 = (1,414213 / 9) x 40 = 0,157134 7…78 x 40 = 6,285391 1…1.
Come ho detto, il fattore quaranta corrisponde alla divisione della superficie in tavolette, più un nono. Cioè: 36 + (36 / 9) = 40. Tradotto in lettere, dunque significa che la circonferenza è 40 volte un nono della diagonale del quadrante.
In questo caso, ho calcolato una circonferenza intera. E non mi sembra che sia stato difficile.
Calcolo, ancora, la circonferenza senza il Pi greco
Immagine
Se ti va bene, ricalcolo C coinvolgendo un elemento mezzano (ex irrazionale). In questo caso però inserirò uno spazio per staccare la parte indefinita del numero (in rosso).
Per primo quindi calcolo il raggio OA:
OA = 1 / 1,414213 = 0,707107 06237320686487820434404153.Poi:
C = OA x [9 - (1 / 9)] =
C = (OA x 8,8…8) = 0,707107 06237320686487820434404153 x 8,8…8 =
C = 6,285396 109984061021139594169258.
In merito alla formula dico che: OA è la variabile; mentre [9 – (1 / 9)] è il costante rapporto di un nono quindi può essere semplificato con 8,8…8. Cioè:
C = OA x 8,8…8.
Questa volta, al contrario di prima, ho voluto una circonferenza con il punto finale indefinito (in rosso). In proposito, può essere utile leggere “struttura aritmetica del numero” o “Superficie quadrata“. Comunque, non voglio andare fuori tema, quindi presento un altro modo per calcolare C. E per farlo, prima inserisco un numero che ha già in conto il rapporto del nono. Perciò:
Ka = (0,9 x K10)= 0,9 x 1,414213 = 1,2727917.E poi:
C = 8 / (Ka / OX) = 8 / (1,2727917 / 1) =
C = 8 / 1,2727917 = 6,285396 109984061021139594169258.
Anche in questo caso, i numeri confermano la circonferenza C. E la regolare proporzionalità tra elementi e riferimenti assoluti. Inoltre, non mi sembra così astioso fare a meno del Pi greco anzi, in alcuni casi, la naturale semplicità delle cose risolve problemi che in altro modo possono complicarsi.
Immagine
Se ti va bene, ricalcolo C coinvolgendo un elemento mezzano (ex irrazionale). In questo caso però inserirò uno spazio per staccare la parte indefinita del numero (in rosso).
Per primo quindi calcolo il raggio OA:
OA = 1 / 1,414213 = 0,707107 06237320686487820434404153.Poi:
C = OA x [9 - (1 / 9)] = C = (OA x 8,8…8) = 0,707107 06237320686487820434404153 x 8,8…8 = C = 6,285396 109984061021139594169258.
In merito alla formula dico che: OA è la variabile; mentre [9 – (1 / 9)] è il costante rapporto di un nono quindi può essere semplificato con 8,8…8. Cioè:
C = OA x 8,8…8.
Questa volta, al contrario di prima, ho voluto una circonferenza con il punto finale indefinito (in rosso). In proposito, può essere utile leggere “struttura aritmetica del numero” o “Superficie quadrata“. Comunque, non voglio andare fuori tema, quindi presento un altro modo per calcolare C. E per farlo, prima inserisco un numero che ha già in conto il rapporto del nono. Perciò:
Ka = (0,9 x K10)= 0,9 x 1,414213 = 1,2727917.E poi:
C = 8 / (Ka / OX) = 8 / (1,2727917 / 1) = C = 8 / 1,2727917 = 6,285396 109984061021139594169258.
Anche in questo caso, i numeri confermano la circonferenza C. E la regolare proporzionalità tra elementi e riferimenti assoluti. Inoltre, non mi sembra così astioso fare a meno del Pi greco anzi, in alcuni casi, la naturale semplicità delle cose risolve problemi che in altro modo possono complicarsi.
Circonferenza e perimetro del quadrato
Perimetro circoscritto e inscritto
Forse mi sto facendo prendere la mano ma, visto che posso calcolare un cerchio senza il Pi greco, voglio discendere la circonferenza anche dal perimetro di un quadrato. A tal fine, so già che P4 = OX x 8 = 8. Allora:
C = P4 / Ka = 8 / 1,2727917 = 6,285396 109984061021139594169258.
Questa formula, per calcolare la circonferenza senza il Pi greco, sembra semplice e facile da memorizzare. Perché, sotto l’aspetto pratico, conosciuto il perimetro devo solo ricordarmi Ka o di come si produce (0,9 x 1,414213).
In proposito, nella costruzione precedente otto corrisponde al numero dei semi lati del perimetro o ai settori del quadrato, che poi sono anche quelli del cerchio, quindi è un riferimento assoluto. Nella circostanza, invece, P4 è uguale a otto ma è chiaro che si tratta di una variabile.
Adesso, per logica, se dal perimetro passo alla circonferenza allora devo poter calcolare anche P3 partendo da C. Tale che si possa verificare la purezza di C attraverso il lato di P3. In questo caso, è sufficiente togliere un nono a C. Cioè:
P3 = C x 0,9 = 6,285396 109984061021139594169258 x 0,9 = 5,656856 4989856549190256347523322.
Perimetro circoscritto e inscritto
Forse mi sto facendo prendere la mano ma, visto che posso calcolare un cerchio senza il Pi greco, voglio discendere la circonferenza anche dal perimetro di un quadrato. A tal fine, so già che P4 = OX x 8 = 8. Allora:
C = P4 / Ka = 8 / 1,2727917 = 6,285396 109984061021139594169258.
Questa formula, per calcolare la circonferenza senza il Pi greco, sembra semplice e facile da memorizzare. Perché, sotto l’aspetto pratico, conosciuto il perimetro devo solo ricordarmi Ka o di come si produce (0,9 x 1,414213).
In proposito, nella costruzione precedente otto corrisponde al numero dei semi lati del perimetro o ai settori del quadrato, che poi sono anche quelli del cerchio, quindi è un riferimento assoluto. Nella circostanza, invece, P4 è uguale a otto ma è chiaro che si tratta di una variabile.
Adesso, per logica, se dal perimetro passo alla circonferenza allora devo poter calcolare anche P3 partendo da C. Tale che si possa verificare la purezza di C attraverso il lato di P3. In questo caso, è sufficiente togliere un nono a C. Cioè:
P3 = C x 0,9 = 6,285396 109984061021139594169258 x 0,9 = 5,656856 4989856549190256347523322.
Verifico
Per primo, calcolo il lato = l dal diametro di C, che poi altro non è che Il lato di P4 = 2, perciò:
l = d / K10 = 2 / 1,414213 = 1,414214 1247464137297564086880831.
Poi:
P3 = l x 4 = 5,656856 4989856549190256347523322.
Il risultati si copiano in tutti i decimali. E’ chiaro che se C fosse stata falsata da un risultato improprio, non avrebbe mai potuto produrre P3 con questa precisione. E questo è il caso del π = 3,141592…
Da P3, già che ci sono, calcolo la circonferenza intera C1:
C1 = P3 / (l x 0,9) = P3 / 1,272792 7122717723567807678192747 = 4,4…4.
Per primo, calcolo il lato = l dal diametro di C, che poi altro non è che Il lato di P4 = 2, perciò:
l = d / K10 = 2 / 1,414213 = 1,414214 1247464137297564086880831.
Poi:
P3 = l x 4 = 5,656856 4989856549190256347523322.
Il risultati si copiano in tutti i decimali. E’ chiaro che se C fosse stata falsata da un risultato improprio, non avrebbe mai potuto produrre P3 con questa precisione. E questo è il caso del π = 3,141592…
Da P3, già che ci sono, calcolo la circonferenza intera C1:
C1 = P3 / (l x 0,9) = P3 / 1,272792 7122717723567807678192747 = 4,4…4.
Confronto con 3,141592…
Per preparare il confronto con il Pi greco irrazionale invece, faccio finta di conoscere solo un percorso 2πr quindi costruirò C. E poi, senza cambiare formula, anche le circonferenze C e C1. Cioè:
C = 2πr = 6,283185307179586476925286766559 x 1 = 6,28 3185307179586476925286766559.
Invece, per la circonferenza intera (C1) so che il raggio è uguale al segmento OA = 0,7071065 quindi:
C1 = 2πr = 6,283185 307179586476925286766559 x 0,7071065 = 4,44 28811714111822651459702869979.
Il Pi greco irrazionale (3,14 1592…), per quanto inventivo, comunque è il risultato di un metodo “innaturale”. E, se lo inserisco in una formula, in alcun modo potrà produrre numeri interi (oltre al secondo decimale).
Mentre, se calcolo la circonferenza con il Pi greco naturale il risultato è di sicuro più preciso.
Anche se complementari, esistono due linee numeriche. La distinzione dunque è necessaria. Perciò, per il paragone, prima mi serve ricostruire il π naturale appropriato alla precisione scelta. E poi lo uso per il calcolo della circonferenza.
Per preparare il confronto con il Pi greco irrazionale invece, faccio finta di conoscere solo un percorso 2πr quindi costruirò C. E poi, senza cambiare formula, anche le circonferenze C e C1. Cioè:
C = 2πr = 6,283185307179586476925286766559 x 1 = 6,28 3185307179586476925286766559.
Invece, per la circonferenza intera (C1) so che il raggio è uguale al segmento OA = 0,7071065 quindi:
C1 = 2πr = 6,283185 307179586476925286766559 x 0,7071065 = 4,44 28811714111822651459702869979.
Il Pi greco irrazionale (3,14 1592…), per quanto inventivo, comunque è il risultato di un metodo “innaturale”. E, se lo inserisco in una formula, in alcun modo potrà produrre numeri interi (oltre al secondo decimale).
Mentre, se calcolo la circonferenza con il Pi greco naturale il risultato è di sicuro più preciso.
Anche se complementari, esistono due linee numeriche. La distinzione dunque è necessaria. Perciò, per il paragone, prima mi serve ricostruire il π naturale appropriato alla precisione scelta. E poi lo uso per il calcolo della circonferenza.
Pi greco intero e mezzano nel calcolo della circonferenza
Per fare gli esempi determino la lunghezza della costante a sei decimali interi: K10 = 1,414213 . Dunque è un numero mezzano definito (con tutti i decimali interi). E poi preparo la costante K10 indefinito per produrre un Pi greco con punto indefinito. Cioè:
K10 indefinito = (1 / K10) x 2 =
K10 indefinito = 0,707107 06237320686487820434404153 x 2 =
K10 indefinito = 1,414214 1247464137297564086880831.
La relazione (1 / K10) ha restituito un numero mezzano indefinito (cioè, con il settimo decimale incompleto). Dunque:
πindefinito = (K10 / 0,9) x 2 = (1,414214 1247464137297564086880831 / 0,9) x 2 = 3,142698 054992030510569797084629.
In questo caso, il risultato è stato un Pi greco in perfetta simmetria con la scelta dei sei decimali interi, più una parte del settimo decimale.
Ciò fatto, per il Pi greco definito, invece devo mettere in relazione tra loro due numeri mezzani definiti. In pratica:
πdefinito = (K10 definito / 0,9) x 2 = 1,57134 7…78 x 2 = 3,142695 5…5.
Anche in questo caso c’è la stessa simmetria con la scelta dei decimali interi (sei).
È bene precisare dunque che la frazione tra numeri mezzani definiti ha restituito un numero mezzano definito (Pi greco), In altre parole, tutti i decimali sono interi e in rapporto di un nono. Su questo puoi leggere “Frazione di un decimale intero“.
Senza cambiare formula, adesso, calcolo tre circonferenze: una indefinita, e due definite:
C = 2πr = (2 x 3,142698 054992030510569797084629) x 1 = 6,285396 109984061021139594169258.
C = 2πr = (2 x 3,142695 5…5) x 1 = 6,285391 1…1.
C1 = 2πr = 6,285396 109984061021139594169258 x 0,7071065 = 4,4…4.
Per fare gli esempi determino la lunghezza della costante a sei decimali interi: K10 = 1,414213 . Dunque è un numero mezzano definito (con tutti i decimali interi). E poi preparo la costante K10 indefinito per produrre un Pi greco con punto indefinito. Cioè:
K10 indefinito = (1 / K10) x 2 =
K10 indefinito = 0,707107 06237320686487820434404153 x 2 =
K10 indefinito = 1,414214 1247464137297564086880831.
La relazione (1 / K10) ha restituito un numero mezzano indefinito (cioè, con il settimo decimale incompleto). Dunque:
πindefinito = (K10 / 0,9) x 2 = (1,414214 1247464137297564086880831 / 0,9) x 2 = 3,142698 054992030510569797084629.
In questo caso, il risultato è stato un Pi greco in perfetta simmetria con la scelta dei sei decimali interi, più una parte del settimo decimale.
Ciò fatto, per il Pi greco definito, invece devo mettere in relazione tra loro due numeri mezzani definiti. In pratica:
πdefinito = (K10 definito / 0,9) x 2 = 1,57134 7…78 x 2 = 3,142695 5…5.
Anche in questo caso c’è la stessa simmetria con la scelta dei decimali interi (sei).
È bene precisare dunque che la frazione tra numeri mezzani definiti ha restituito un numero mezzano definito (Pi greco), In altre parole, tutti i decimali sono interi e in rapporto di un nono. Su questo puoi leggere “Frazione di un decimale intero“.
Senza cambiare formula, adesso, calcolo tre circonferenze: una indefinita, e due definite:
C = 2πr = (2 x 3,142698 054992030510569797084629) x 1 = 6,285396 109984061021139594169258.
C = 2πr = (2 x 3,142695 5…5) x 1 = 6,285391 1…1.
C1 = 2πr = 6,285396 109984061021139594169258 x 0,7071065 = 4,4…4.
Insisto con il calcolo della circonferenza senza il Pi greco
calcolo della circonferenza senza il Pi greco
Già che ci sono inserisco un altro modo per calcolare la circonferenza senza il Pi greco. Preciso dunque che il prodotto della circonferenza C1 non è solo un periodico semplice o un numero regolare. In vero, è anche un numero proporzionato con il rapporto di un nono ed è valido per la costruzione algebrica del Pi greco. Voglio dire che se:
π = 4,4…4 / 1,414214 1247464137297564086880831 = 3,142695 5…56.
Allora, posso fare una costruzione algebrica:
π = (10 / 9 x 4) / K10.
oppure:
π = (K10 x 2 ) + ((K10 x 2 ) / 9).
Ciò fatto, presento un’altra costruzione utile al calcolo della circonferenza = C e poi anche quella per l’area del cerchio con gli stessi elementi a tal fine, ferma la scelta dei sei decimali e con OX = 1. Sarà:
C = K10 definito x (OX x 4,444444) =
C = 1,414213 x (1 x 4,444444) = 6,285390 482572.
Anche se fuori tema inserisco pure la costruzione per il calcolo dell’area del cerchio con gli stessi elementi e con OA = 1,414213 / 2 = 0,7071065 (il segmento OA è sempre la metà della diagonale (OX x K10). E poi:
Acerchio = OA x (OX x 4,444444) =
Acerchio = 0,7071065 x (1 x 4,444444) = 3,142695 241286.
Come si può vedere, è stato sufficiente stabilire una lunghezza precisa dei fattori (sei decimali) e il prodotto è un numero definito e simmetrico con la scelta dei decimali scelti. In più, ora è un numero unico dunque ha anche una posizione precisa tra i decimali e nella crescita dei numeri reali. E non mi sembra poco.
calcolo della circonferenza senza il Pi greco
Già che ci sono inserisco un altro modo per calcolare la circonferenza senza il Pi greco. Preciso dunque che il prodotto della circonferenza C1 non è solo un periodico semplice o un numero regolare. In vero, è anche un numero proporzionato con il rapporto di un nono ed è valido per la costruzione algebrica del Pi greco. Voglio dire che se:
π = 4,4…4 / 1,414214 1247464137297564086880831 = 3,142695 5…56.
Allora, posso fare una costruzione algebrica:
π = (10 / 9 x 4) / K10.
oppure:
π = (K10 x 2 ) + ((K10 x 2 ) / 9).
Ciò fatto, presento un’altra costruzione utile al calcolo della circonferenza = C e poi anche quella per l’area del cerchio con gli stessi elementi a tal fine, ferma la scelta dei sei decimali e con OX = 1. Sarà:
C = K10 definito x (OX x 4,444444) = C = 1,414213 x (1 x 4,444444) = 6,285390 482572.
Anche se fuori tema inserisco pure la costruzione per il calcolo dell’area del cerchio con gli stessi elementi e con OA = 1,414213 / 2 = 0,7071065 (il segmento OA è sempre la metà della diagonale (OX x K10). E poi:
Acerchio = OA x (OX x 4,444444) = Acerchio = 0,7071065 x (1 x 4,444444) = 3,142695 241286.
Come si può vedere, è stato sufficiente stabilire una lunghezza precisa dei fattori (sei decimali) e il prodotto è un numero definito e simmetrico con la scelta dei decimali scelti. In più, ora è un numero unico dunque ha anche una posizione precisa tra i decimali e nella crescita dei numeri reali. E non mi sembra poco.
A conti fatti
Dal riscontro, risulta che la prima differenza è sulla precisione. Con 3,14 1592… non posso andare oltre una precisione a due decimali interi (in entrambi i casi). Infatti, anche se leggo trenta o più decimali, solo due sono interi (6,28 o 4,44). Tutti gli altri, sono una frazione che segue il secondo decimale intero. E per quanto si voglia allungare la numerosità di questi decimali, non si potrà più completare il terzo decimale. Nel secondo caso, invece, sono stato io a scegliere la precisione, impostando la costante al sesto decimale (1,414213). In totale libertà e senza nessuna limitazione. Per dire che l’offerta della precisione è pari a quella numerica quindi illimitata. E non mi sembra poco. Nell’articolo “Ciao mondo del Pi greco!” ho già effettuato una scomposizione di 3,14 15… con la vera costante 1,414213… dove evidenzio questa circostanza fino al quattordicesimo decimale quindi non la ripeto.
Come detto, il Pi greco irrazionale non c’è possibilità di scelta quindi rimane statico sia per i numeri interi sia per quelli mezzani (ex irrazionale). Ecco perché lasciando così le cose, con questo numero, è impossibile calcolare una circonferenza o area in forma intera.
Correlati:
Tetracontagono la figura di Eulero
Dal riscontro, risulta che la prima differenza è sulla precisione. Con 3,14 1592… non posso andare oltre una precisione a due decimali interi (in entrambi i casi). Infatti, anche se leggo trenta o più decimali, solo due sono interi (6,28 o 4,44). Tutti gli altri, sono una frazione che segue il secondo decimale intero. E per quanto si voglia allungare la numerosità di questi decimali, non si potrà più completare il terzo decimale. Nel secondo caso, invece, sono stato io a scegliere la precisione, impostando la costante al sesto decimale (1,414213). In totale libertà e senza nessuna limitazione. Per dire che l’offerta della precisione è pari a quella numerica quindi illimitata. E non mi sembra poco. Nell’articolo “Ciao mondo del Pi greco!” ho già effettuato una scomposizione di 3,14 15… con la vera costante 1,414213… dove evidenzio questa circostanza fino al quattordicesimo decimale quindi non la ripeto.
Come detto, il Pi greco irrazionale non c’è possibilità di scelta quindi rimane statico sia per i numeri interi sia per quelli mezzani (ex irrazionale). Ecco perché lasciando così le cose, con questo numero, è impossibile calcolare una circonferenza o area in forma intera.
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